微积分学示例

$\frac{d x}{d t} = x^{2} + \frac{1}{81}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{81}}$ 。

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{81}} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{81}} (x^{2} + \frac{1}{81})$

解题步骤 1.2

约去 $x^{2} + \frac{1}{81}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{81}} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{81}} (x^{2} + \frac{1}{81})$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{81}} \frac{d x}{d t} = 1$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{81}} d x = 1 d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{81}} d x = \int d t$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

将 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{81}$ 重新排序。

$\int \frac{1}{\frac{1}{81} + x^{2}} d x = \int d t$

解题步骤 2.2.2

将 $\frac{1}{81}$ 重写为 ${(\frac{1}{9})}^{2}$ 。

$\int \frac{1}{{(\frac{1}{9})}^{2} + x^{2}} d x = \int d t$

解题步骤 2.2.3

$\frac{1}{{(\frac{1}{9})}^{2} + x^{2}}$ 对 $x$ 的积分为 $\frac{1}{\frac{1}{9}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{9}}) + C_{1}$ 。

$\frac{1}{\frac{1}{9}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{9}}) + C_{1} = \int d t$

解题步骤 2.2.4

化简。

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解题步骤 2.2.4.1

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{9}$ 。

$1 \cdot 9 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{9}}) + C_{1} = \int d t$

解题步骤 2.2.4.2

将 $9$ 乘以 $1$ 。

$9 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{9}}) + C_{1} = \int d t$

解题步骤 2.2.4.3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{9}$ 。

$9 \arctan (x \cdot 9) + C_{1} = \int d t$

解题步骤 2.2.4.4

将 $9$ 移到 $x$ 的左侧。

$9 \arctan (9 x) + C_{1} = \int d t$

解题步骤 2.3

应用常数不变法则。

$9 \arctan (9 x) + C_{1} = t + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$9 \arctan (9 x) = t + K$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $9 \arctan (9 x) = t + K$ 中的每一项除以 $9$ 并化简。

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解题步骤 3.1.1

将 $9 \arctan (9 x) = t + K$ 中的每一项都除以 $9$ 。

$\frac{9 \arctan (9 x)}{9} = \frac{t}{9} + \frac{K}{9}$

解题步骤 3.1.2

化简左边。

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解题步骤 3.1.2.1

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{9 \arctan (9 x)}{9} = \frac{t}{9} + \frac{K}{9}$

解题步骤 3.1.2.1.2

用 $\arctan (9 x)$ 除以 $1$ 。

$\arctan (9 x) = \frac{t}{9} + \frac{K}{9}$

解题步骤 3.2

取方程两边的反正切的逆函数来从反正切内提出 $x$ 。

$9 x = \tan (\frac{t}{9} + \frac{K}{9})$

解题步骤 3.3

将 $9 x = \tan (\frac{t}{9} + \frac{K}{9})$ 中的每一项除以 $9$ 并化简。

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解题步骤 3.3.1

将 $9 x = \tan (\frac{t}{9} + \frac{K}{9})$ 中的每一项都除以 $9$ 。

$\frac{9 x}{9} = \frac{\tan (\frac{t}{9} + \frac{K}{9})}{9}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{9 x}{9} = \frac{\tan (\frac{t}{9} + \frac{K}{9})}{9}$

解题步骤 3.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\tan (\frac{t}{9} + \frac{K}{9})}{9}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$x = \frac{\tan (\frac{t}{9} + K)}{9}$

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