微积分学示例

$\frac{d y}{d t} + 2 y = 1$ , $y (0) = \frac{2}{5}$

解题步骤 1

积分因数由公式 $e^{\int P (t) d t}$ 定义，其中 $P (t) = 2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

建立积分。

$e^{\int 2 d t}$

解题步骤 1.2

应用常数不变法则。

$e^{2 t + C}$

解题步骤 1.3

去掉积分常数。

$e^{2 t}$

解题步骤 2

每一项乘以积分因数 $e^{2 t}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

每一项乘以 $e^{2 t}$ 。

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + e^{2 t} (2 y) = e^{2 t} \cdot 1$

解题步骤 2.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t} \cdot 1$

解题步骤 2.3

将 $e^{2 t}$ 乘以 $1$ 。

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t}$

解题步骤 2.4

将 $e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t}$ 中的因式重新排序。

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 y e^{2 t} = e^{2 t}$

解题步骤 3

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d t} [e^{2 t} y] = e^{2 t}$

解题步骤 4

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d t} [e^{2 t} y] d t = \int e^{2 t} d t$

解题步骤 5

对左边积分。

$e^{2 t} y = \int e^{2 t} d t$

解题步骤 6

对右边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

使 $u = 2 t$ 。然后使 $d u = 2 d t$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1

设 $u = 2 t$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1.1

对 $2 t$ 求导。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

解题步骤 6.1.1.2

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 6.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 6.1.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 6.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$e^{2 t} y = \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 6.2

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{2 t} y = \int \frac{e^{u}}{2} d u$

解题步骤 6.3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$e^{2 t} y = \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

解题步骤 6.4

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$e^{2 t} y = \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

解题步骤 6.5

化简。

$e^{2 t} y = \frac{1}{2} e^{u} + C$

解题步骤 6.6

使用 $2 t$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{2 t} y = \frac{1}{2} e^{2 t} + C$

解题步骤 7

将 $e^{2 t} y = \frac{1}{2} e^{2 t} + C$ 中的每一项除以 $e^{2 t}$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

将 $e^{2 t} y = \frac{1}{2} e^{2 t} + C$ 中的每一项都除以 $e^{2 t}$ 。

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

解题步骤 7.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1

约去 $e^{2 t}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

解题步骤 7.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

解题步骤 7.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.3.1

约去 $e^{2 t}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.3.1.1

约去公因数。

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

解题步骤 7.3.1.2

用 $\frac{1}{2}$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 t}}$

解题步骤 8

使用初始条件，通过将 $0$ 代入 $t$ ，将 $\frac{2}{5}$ 代入 $y$ ，在 $y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 t}}$ 中求 $C$ 的值。

$\frac{2}{5} = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}}$

解题步骤 9

求解 $C$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

将方程重写为 $\frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = \frac{2}{5}$ 。

$\frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = \frac{2}{5}$

解题步骤 9.2

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.1

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.1.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{2} + \frac{C}{e^{0}} = \frac{2}{5}$

解题步骤 9.2.1.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{1}{2} + \frac{C}{1} = \frac{2}{5}$

解题步骤 9.2.2

用 $C$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{2} + C = \frac{2}{5}$

解题步骤 9.3

将所有不包含 $C$ 的项移到等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.3.1

从等式两边同时减去 $\frac{1}{2}$ 。

$C = \frac{2}{5} - \frac{1}{2}$

解题步骤 9.3.2

要将 $\frac{2}{5}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$C = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

解题步骤 9.3.3

要将 $- \frac{1}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$C = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

解题步骤 9.3.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $10$ 的形式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.3.4.1

将 $\frac{2}{5}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$C = \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

解题步骤 9.3.4.2

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$C = \frac{2 \cdot 2}{10} - \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

解题步骤 9.3.4.3

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$C = \frac{2 \cdot 2}{10} - \frac{5}{2 \cdot 5}$

解题步骤 9.3.4.4

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$C = \frac{2 \cdot 2}{10} - \frac{5}{10}$

解题步骤 9.3.5

在公分母上合并分子。

$C = \frac{2 \cdot 2 - 5}{10}$

解题步骤 9.3.6

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.3.6.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$C = \frac{4 - 5}{10}$

解题步骤 9.3.6.2

从 $4$ 中减去 $5$ 。

$C = \frac{- 1}{10}$

解题步骤 9.3.7

将负号移到分数的前面。

$C = - \frac{1}{10}$

解题步骤 10

代入 $- \frac{1}{10}$ 替换 $y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 t}}$ 中的 $C$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.1

代入 $- \frac{1}{10}$ 替换 $C$ 。

$y = \frac{1}{2} + \frac{- \frac{1}{10}}{e^{2 t}}$

解题步骤 10.2

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.2.1

将分子乘以分母的倒数。

$y = \frac{1}{2} - \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{e^{2 t}}$

解题步骤 10.2.2

将 $\frac{1}{e^{2 t}}$ 乘以 $\frac{1}{10}$ 。

$y = \frac{1}{2} - \frac{1}{e^{2 t} \cdot 10}$

解题步骤 10.2.3

将 $10$ 移到 $e^{2 t}$ 的左侧。

$y = \frac{1}{2} - \frac{1}{10 e^{2 t}}$

微积分学 示例

微积分学示例