微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = 2 x^{2} - \frac{x}{2} + 1$ , $y (1) = 2$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = (2 x^{2} - \frac{x}{2} + 1) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int 2 x^{2} - \frac{x}{2} + 1 d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int 2 x^{2} - \frac{x}{2} + 1 d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{1} = \int 2 x^{2} d x + \int - \frac{x}{2} d x + \int d x$

解题步骤 2.3.2

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 2 \int x^{2} d x + \int - \frac{x}{2} d x + \int d x$

解题步骤 2.3.3

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - \frac{x}{2} d x + \int d x$

解题步骤 2.3.4

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + \int - \frac{x}{2} d x + \int d x$

解题步骤 2.3.5

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - \int \frac{x}{2} d x + \int d x$

解题步骤 2.3.6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - (\frac{1}{2} \int x d x) + \int d x$

解题步骤 2.3.7

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int d x$

解题步骤 2.3.8

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + x + C_{4}$

解题步骤 2.3.9

化简。

$y + C_{1} = \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{4} + x + C_{5}$

解题步骤 2.3.10

重新排序项。

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{3} - \frac{1}{4} x^{2} + x + C_{5}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = \frac{2}{3} x^{3} - \frac{1}{4} x^{2} + x + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $1$ 代入 $x$ ，将 $2$ 代入 $y$ ，在 $y = \frac{2}{3} x^{3} - \frac{1}{4} x^{2} + x + K$ 中求 $K$ 的值。

$2 = \frac{2}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{4} \cdot 1^{2} + 1 + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $\frac{2}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{4} \cdot 1^{2} + 1 + K = 2$ 。

$\frac{2}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{4} \cdot 1^{2} + 1 + K = 2$

解题步骤 4.2

化简 $\frac{2}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{4} \cdot 1^{2} + 1 + K$ 。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{1}{4} \cdot 1^{2} + 1 + K = 2$

解题步骤 4.2.1.2

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{3} - \frac{1}{4} \cdot 1^{2} + 1 + K = 2$

解题步骤 4.2.1.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{2}{3} - \frac{1}{4} \cdot 1 + 1 + K = 2$

解题步骤 4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{3} - \frac{1}{4} + 1 + K = 2$

解题步骤 4.2.2

要将 $\frac{2}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} + 1 + K = 2$

解题步骤 4.2.3

要将 $- \frac{1}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3} + 1 + K = 2$

解题步骤 4.2.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $12$ 的形式。

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解题步骤 4.2.4.1

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3} + 1 + K = 2$

解题步骤 4.2.4.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{2 \cdot 4}{12} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3} + 1 + K = 2$

解题步骤 4.2.4.3

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2 \cdot 4}{12} - \frac{3}{4 \cdot 3} + 1 + K = 2$

解题步骤 4.2.4.4

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2 \cdot 4}{12} - \frac{3}{12} + 1 + K = 2$

解题步骤 4.2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{2 \cdot 4 - 3}{12} + 1 + K = 2$

解题步骤 4.2.6

化简分子。

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解题步骤 4.2.6.1

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{8 - 3}{12} + 1 + K = 2$

解题步骤 4.2.6.2

从 $8$ 中减去 $3$ 。

$\frac{5}{12} + 1 + K = 2$

解题步骤 4.2.7

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{5}{12} + \frac{12}{12} + K = 2$

解题步骤 4.2.8

在公分母上合并分子。

$\frac{5 + 12}{12} + K = 2$

解题步骤 4.2.9

将 $5$ 和 $12$ 相加。

$\frac{17}{12} + K = 2$

解题步骤 4.3

将所有不包含 $K$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.3.1

从等式两边同时减去 $\frac{17}{12}$ 。

$K = 2 - \frac{17}{12}$

解题步骤 4.3.2

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{12}{12}$ 。

$K = 2 \cdot \frac{12}{12} - \frac{17}{12}$

解题步骤 4.3.3

组合 $2$ 和 $\frac{12}{12}$ 。

$K = \frac{2 \cdot 12}{12} - \frac{17}{12}$

解题步骤 4.3.4

在公分母上合并分子。

$K = \frac{2 \cdot 12 - 17}{12}$

解题步骤 4.3.5

化简分子。

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解题步骤 4.3.5.1

将 $2$ 乘以 $12$ 。

$K = \frac{24 - 17}{12}$

解题步骤 4.3.5.2

从 $24$ 中减去 $17$ 。

$K = \frac{7}{12}$

解题步骤 5

代入 $\frac{7}{12}$ 替换 $y = \frac{2}{3} x^{3} - \frac{1}{4} x^{2} + x + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $\frac{7}{12}$ 替换 $K$ 。

$y = \frac{2}{3} x^{3} - \frac{1}{4} x^{2} + x + \frac{7}{12}$

解题步骤 5.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$y = \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{1}{4} x^{2} + x + \frac{7}{12}$

解题步骤 5.2.2

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$y = \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{4} + x + \frac{7}{12}$

微积分学 示例

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