微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\sqrt{x}}{4 y}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $y$ 。

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{\sqrt{x}}{4 y})$

解题步骤 1.2

化简。

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解题步骤 1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{\sqrt{x}}{4 y}$

解题步骤 1.2.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.1

从 $- y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{\sqrt{x}}{4 y}$

解题步骤 1.2.2.2

从 $4 y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{\sqrt{x}}{y \cdot 4}$

解题步骤 1.2.2.3

约去公因数。

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{\sqrt{x}}{y \cdot 4}$

解题步骤 1.2.2.4

重写表达式。

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{\sqrt{x}}{4}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$y d y = - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int y d y = \int - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

解题步骤 2.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

解题步骤 2.3.2

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{4} \int \sqrt{x} d x)$

解题步骤 2.3.3

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 2.3.4

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

解题步骤 2.3.5

化简答案。

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解题步骤 2.3.5.1

将 $- \frac{1}{4} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ 重写为 $- \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.5.2

化简。

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解题步骤 2.3.5.2.1

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{2}{3 \cdot 4} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.5.2.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{2}{12} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.5.2.3

约去 $2$ 和 $12$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.5.2.3.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{2 (1)}{12} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.5.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.5.2.3.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.5.2.3.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.5.2.3.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{6} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{6} x^{\frac{3}{2}} + K$

微积分学 示例

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