微积分学示例

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = x^{2}$ , $y (1) = \frac{2}{5}$

解题步骤 1

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = \frac{2}{x}$ 。

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解题步骤 1.1

建立积分。

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

解题步骤 1.2

对 $\frac{2}{x}$ 积分。

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解题步骤 1.2.1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 1.2.2

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

解题步骤 1.2.3

化简。

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

解题步骤 1.3

去掉积分常数。

$e^{2 \ln (x)}$

解题步骤 1.4

使用对数幂法则。

$e^{\ln (x^{2})}$

解题步骤 1.5

指数函数和对数函数互为反函数。

$x^{2}$

解题步骤 2

每一项乘以积分因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1

每一项乘以 $x^{2}$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} x^{2}$

解题步骤 2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1

组合 $\frac{2}{x}$ 和 $y$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{2}$

解题步骤 2.2.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{2}$

解题步骤 2.2.2.2

约去公因数。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{2}$

解题步骤 2.2.2.3

重写表达式。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} x^{2}$

解题步骤 2.2.3

使用乘法的交换性质重写。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} x^{2}$

解题步骤 2.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2 + 2}$

解题步骤 2.3.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{4}$

解题步骤 3

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = x^{4}$

解题步骤 4

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int x^{4} d x$

解题步骤 5

对左边积分。

$x^{2} y = \int x^{4} d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} + C$

解题步骤 7

将 $x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} + C$ 中的每一项除以 $x^{2}$ 并化简。

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解题步骤 7.1

将 $x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} + C$ 中的每一项都除以 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

解题步骤 7.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

解题步骤 7.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

解题步骤 7.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.1

化简每一项。

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解题步骤 7.3.1.1

约去 $x^{5}$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.1.1.1

从 $\frac{1}{5} x^{5}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

解题步骤 7.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 7.3.1.1.2.1

乘以 $1$ 。

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

解题步骤 7.3.1.1.2.2

约去公因数。

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

解题步骤 7.3.1.1.2.3

重写表达式。

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{3}}{1} + \frac{C}{x^{2}}$

解题步骤 7.3.1.1.2.4

用 $\frac{1}{5} x^{3}$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{1}{5} x^{3} + \frac{C}{x^{2}}$

解题步骤 7.3.1.2

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $x^{3}$ 。

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{C}{x^{2}}$

解题步骤 8

使用初始条件，通过将 $1$ 代入 $x$ ，将 $\frac{2}{5}$ 代入 $y$ ，在 $y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{C}{x^{2}}$ 中求 $C$ 的值。

$\frac{2}{5} = \frac{1^{3}}{5} + \frac{C}{1^{2}}$

解题步骤 9

求解 $C$ 。

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解题步骤 9.1

将方程重写为 $\frac{1^{3}}{5} + \frac{C}{1^{2}} = \frac{2}{5}$ 。

$\frac{1^{3}}{5} + \frac{C}{1^{2}} = \frac{2}{5}$

解题步骤 9.2

化简每一项。

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解题步骤 9.2.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{5} + \frac{C}{1^{2}} = \frac{2}{5}$

解题步骤 9.2.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{5} + \frac{C}{1} = \frac{2}{5}$

解题步骤 9.2.3

用 $C$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{5} + C = \frac{2}{5}$

解题步骤 9.3

将所有不包含 $C$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 9.3.1

从等式两边同时减去 $\frac{1}{5}$ 。

$C = \frac{2}{5} - \frac{1}{5}$

解题步骤 9.3.2

在公分母上合并分子。

$C = \frac{2 - 1}{5}$

解题步骤 9.3.3

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$C = \frac{1}{5}$

解题步骤 10

代入 $\frac{1}{5}$ 替换 $y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{C}{x^{2}}$ 中的 $C$ 并化简。

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解题步骤 10.1

代入 $\frac{1}{5}$ 替换 $C$ 。

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{\frac{1}{5}}{x^{2}}$

解题步骤 10.2

化简每一项。

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解题步骤 10.2.1

将分子乘以分母的倒数。

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 10.2.2

合并。

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{1 \cdot 1}{5 x^{2}}$

解题步骤 10.2.3

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{1}{5 x^{2}}$

微积分学 示例

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