微积分学示例

$(2 y + t) d y + y d t = 0$

解题步骤 1

重写微分方程以符合精确微分方程方法。

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解题步骤 1.1

重写。

$y d t + (2 y + t) d y = 0$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = y$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

解题步骤 3

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = 2 y + t$ 的值。

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解题步骤 3.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y + t]$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $2 y + t$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [t]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [t]$

解题步骤 3.3

因为 $2 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [t]$

解题步骤 3.4

因为 $t$ 对于 $x$ 是常数，所以 $t$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0$

解题步骤 3.5

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

解题步骤 4

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 4.1

将 $1$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $0$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$1 = 0$

解题步骤 4.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$1 = 0$ 不是恒等式。

解题步骤 5

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

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解题步骤 5.1

代入 $0$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

解题步骤 5.2

代入 $1$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{0 - 1}{M}$

解题步骤 5.3

代入 $y$ 替换 $M$ 。

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解题步骤 5.3.1

代入 $y$ 替换 $M$ 。

$\frac{0 - 1}{y}$

解题步骤 5.3.2

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$\frac{- 1}{y}$

解题步骤 5.3.3

代入 $y$ 替换 $M$ 。

$- \frac{1}{y}$

解题步骤 5.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

解题步骤 6

计算积分 $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ 。

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解题步骤 6.1

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

解题步骤 6.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

解题步骤 6.3

化简。

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

解题步骤 6.4

化简每一项。

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解题步骤 6.4.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- \ln (| y |)$ 。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

解题步骤 6.4.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

解题步骤 6.4.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

解题步骤 7

在 $y d t + (2 y + t) d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $\frac{1}{y}$ 。

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解题步骤 7.1

将 $y$ 乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$y \frac{1}{y} d t + (2 y + t) d y = 0$

解题步骤 7.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1

约去公因数。

$y \frac{1}{y} d t + (2 y + t) d y = 0$

解题步骤 7.2.2

重写表达式。

$1 d t + (2 y + t) d y = 0$

解题步骤 7.3

将 $2 y + t$ 乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$1 d t + (2 y + t) \frac{1}{y} d y = 0$

解题步骤 7.4

将 $2 y + t$ 乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$1 d t + \frac{2 y + t}{y} d y = 0$

解题步骤 8

使 $f (x, y)$ 等于 $M (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int d x$

解题步骤 9

对 $M (x, y) = 1$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 9.1

应用常数不变法则。

$f (x, y) = x + C$

解题步骤 10

由于 $g (y)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (y)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = x + g (y)$

解题步骤 11

设置 $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2 y + t}{y}$

解题步骤 12

求 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 。

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解题步骤 12.1

将 $f$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{d}{d y} [x + g (y)] = \frac{2 y + t}{y}$

解题步骤 12.2

根据加法法则， $x + g (y)$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 。

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y + t}{y}$

解题步骤 12.3

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y + t}{y}$

解题步骤 12.4

使用函数法则进行微分，即 $g (y)$ 的导数为 $\frac{d g}{d y}$ 。

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y + t}{y}$

解题步骤 12.5

将 $0$ 和 $\frac{d g}{d y}$ 相加。

$\frac{d g}{d y} = \frac{2 y + t}{y}$

解题步骤 13

求 $\frac{2 y + t}{y}$ 的不定积分，以求出 $g (y)$ 。

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解题步骤 13.1

对 $\frac{d g}{d y} = \frac{2 y + t}{y}$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{2 y + t}{y} d y$

解题步骤 13.2

计算 $\int \frac{d g}{d y} d y$ 。

$g (y) = \int \frac{2 y + t}{y} d y$

解题步骤 13.3

将分数分解成多个分数。

$g (y) = \int \frac{2 y}{y} + \frac{t}{y} d y$

解题步骤 13.4

将单个积分拆分为多个积分。

$g (y) = \int \frac{2 y}{y} d y + \int \frac{t}{y} d y$

解题步骤 13.5

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 13.5.1

约去公因数。

$g (y) = \int \frac{2 y}{y} d y + \int \frac{t}{y} d y$

解题步骤 13.5.2

用 $2$ 除以 $1$ 。

$g (y) = \int 2 d y + \int \frac{t}{y} d y$

解题步骤 13.6

应用常数不变法则。

$g (y) = 2 y + C + \int \frac{t}{y} d y$

解题步骤 13.7

由于 $t$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $t$ 移到积分外。

$g (y) = 2 y + C + t \int \frac{1}{y} d y$

解题步骤 13.8

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$g (y) = 2 y + C + t (\ln (| y |) + C)$

解题步骤 13.9

化简。

$g (y) = 2 y + t \ln (| y |) + C$

解题步骤 14

在 $f (x, y) = x + g (y)$ 中代入 $g (y)$ 。

$f (x, y) = x + 2 y + t \ln (| y |) + C$

微积分学 示例

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