微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y - 2 y + 5}{2 x + 5}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{3 y - 2 y + 5}$ 。

$\frac{1}{3 y - 2 y + 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 y - 2 y + 5} \cdot \frac{3 y - 2 y + 5}{2 x + 5}$

解题步骤 1.2

约去 $3 y - 2 y + 5$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{3 y - 2 y + 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 y - 2 y + 5} \cdot \frac{3 y - 2 y + 5}{2 x + 5}$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{3 y - 2 y + 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x + 5}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{3 y - 2 y + 5} d y = \frac{1}{2 x + 5} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{3 y - 2 y + 5} d y = \int \frac{1}{2 x + 5} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

从 $3 y$ 中减去 $2 y$ 。

$\int \frac{1}{y + 5} d y = \int \frac{1}{2 x + 5} d x$

解题步骤 2.2.2

使 $u_{1} = y + 5$ 。然后使 $d u_{1} = d y$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.2.1

设 $u_{1} = y + 5$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.1

对 $y + 5$ 求导。

$\frac{d}{d y} [y + 5]$

解题步骤 2.2.2.1.2

根据加法法则， $y + 5$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [5]$ 。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [5]$

解题步骤 2.2.2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d y} [5]$

解题步骤 2.2.2.1.4

因为 $5$ 对于 $y$ 是常数，所以 $5$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.2.2.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.2.2.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{2 x + 5} d x$

解题步骤 2.2.3

$\frac{1}{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\ln (| u_{1} |)$ 。

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 x + 5} d x$

解题步骤 2.2.4

使用 $y + 5$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 x + 5} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

使 $u_{2} = 2 x + 5$ 。然后使 $d u_{2} = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.1.1

设 $u_{2} = 2 x + 5$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.1

对 $2 x + 5$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x + 5]$

解题步骤 2.3.1.1.2

根据加法法则， $2 x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 2.3.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 2.3.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 2.3.1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 2.3.1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.3.1.1.4.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 2.3.1.1.4.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

解题步骤 2.3.1.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 2.3.2

化简。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $\frac{1}{u_{2}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

解题步骤 2.3.2.2

将 $2$ 移到 $u_{2}$ 的左侧。

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.4

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

解题步骤 2.3.5

化简。

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

解题步骤 2.3.6

使用 $2 x + 5$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 5 |) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y + 5 |) = \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 5 |) + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

化简右边。

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解题步骤 3.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\ln (| 2 x + 5 |)$ 。

$\ln (| y + 5 |) = \frac{\ln (| 2 x + 5 |)}{2} + C$

解题步骤 3.2

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| y + 5 |) - \frac{\ln (| 2 x + 5 |)}{2} = C$

解题步骤 3.3

要将 $\ln (| y + 5 |)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\ln (| y + 5 |) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| 2 x + 5 |)}{2} = C$

解题步骤 3.4

化简项。

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解题步骤 3.4.1

组合 $\ln (| y + 5 |)$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\ln (| y + 5 |) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| 2 x + 5 |)}{2} = C$

解题步骤 3.4.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\ln (| y + 5 |) \cdot 2 - \ln (| 2 x + 5 |)}{2} = C$

解题步骤 3.5

将 $2$ 移到 $\ln (| y + 5 |)$ 的左侧。

$\frac{2 \ln (| y + 5 |) - \ln (| 2 x + 5 |)}{2} = C$

解题步骤 3.6

化简左边。

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解题步骤 3.6.1

化简 $\frac{2 \ln (| y + 5 |) - \ln (| 2 x + 5 |)}{2}$ 。

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解题步骤 3.6.1.1

化简分子。

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解题步骤 3.6.1.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (| y + 5 |)$ 。

$\frac{\ln ({| y + 5 |}^{2}) - \ln (| 2 x + 5 |)}{2} = C$

解题步骤 3.6.1.1.2

去掉 ${| y + 5 |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$\frac{\ln ({(y + 5)}^{2}) - \ln (| 2 x + 5 |)}{2} = C$

解题步骤 3.6.1.1.3

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\frac{\ln (\frac{{(y + 5)}^{2}}{| 2 x + 5 |})}{2} = C$

解题步骤 3.6.1.2

将 $\frac{\ln (\frac{{(y + 5)}^{2}}{| 2 x + 5 |})}{2}$ 重写为 $\frac{1}{2} \ln (\frac{{(y + 5)}^{2}}{| 2 x + 5 |})$ 。

$\frac{1}{2} \ln (\frac{{(y + 5)}^{2}}{| 2 x + 5 |}) = C$

解题步骤 3.6.1.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{2} \ln (\frac{{(y + 5)}^{2}}{| 2 x + 5 |})$ 。

$\ln ({(\frac{{(y + 5)}^{2}}{| 2 x + 5 |})}^{\frac{1}{2}}) = C$

解题步骤 3.6.1.4

对 $\frac{{(y + 5)}^{2}}{| 2 x + 5 |}$ 运用乘积法则。

$\ln (\frac{{({(y + 5)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

解题步骤 3.6.1.5

化简分子。

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解题步骤 3.6.1.5.1

将 ${({(y + 5)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.6.1.5.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\ln (\frac{{(y + 5)}^{2 (\frac{1}{2})}}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

解题步骤 3.6.1.5.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.1.5.1.2.1

约去公因数。

$\ln (\frac{{(y + 5)}^{2 (\frac{1}{2})}}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

解题步骤 3.6.1.5.1.2.2

重写表达式。

$\ln (\frac{{(y + 5)}^{1}}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

解题步骤 3.6.1.5.2

化简。

$\ln (\frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

解题步骤 3.7

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (\frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}})} = e^{C}$

解题步骤 3.8

使用对数的定义将 $\ln (\frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{C} = \frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.9

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.9.1

将方程重写为 $\frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$ 。

$\frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$

解题步骤 3.9.2

两边同时乘以 ${| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}} {| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 3.9.3

化简左边。

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解题步骤 3.9.3.1

约去 ${| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 3.9.3.1.1

约去公因数。

$\frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}} {| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 3.9.3.1.2

重写表达式。

$y + 5 = e^{C} {| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 3.9.4

从等式两边同时减去 $5$ 。

$y = e^{C} {| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}} - 5$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = C {| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}} - 5$

微积分学 示例

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