微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{(3 x^{2} + 2)}{y}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $y$ 。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 x^{2} + 2}{y}$

解题步骤 1.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 x^{2} + 2}{y}$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$y \frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 2$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$y d y = (3 x^{2} + 2) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int y d y = \int 3 x^{2} + 2 d x$

解题步骤 2.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 3 x^{2} + 2 d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 3 x^{2} d x + \int 2 d x$

解题步骤 2.3.2

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 \int x^{2} d x + \int 2 d x$

解题步骤 2.3.3

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int 2 d x$

解题步骤 2.3.4

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 2 x + C_{3}$

解题步骤 2.3.5

化简。

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解题步骤 2.3.5.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + 2 x + C_{3}$

解题步骤 2.3.5.2

化简。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x^{3} + 2 x + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} = x^{3} + 2 x + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (x^{3} + 2 x + K)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

化简 $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x^{3} + 2 x + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x^{3} + 2 x + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{2} = 2 (x^{3} + 2 x + K)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $2 (x^{3} + 2 x + K)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

运用分配律。

$y^{2} = 2 x^{3} + 2 (2 x) + 2 K$

解题步骤 3.2.2.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y^{2} = 2 x^{3} + 4 x + 2 K$

解题步骤 3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{2 x^{3} + 4 x + 2 K}$

解题步骤 3.4

从 $2 x^{3} + 4 x + 2 K$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 3.4.1

从 $2 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \pm \sqrt{2 (x^{3}) + 4 x + 2 K}$

解题步骤 3.4.2

从 $4 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \pm \sqrt{2 (x^{3}) + 2 (2 x) + 2 K}$

解题步骤 3.4.3

从 $2 K$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \pm \sqrt{2 (x^{3}) + 2 (2 x) + 2 K}$

解题步骤 3.4.4

从 $2 (x^{3}) + 2 (2 x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \pm \sqrt{2 (x^{3} + 2 x) + 2 K}$

解题步骤 3.4.5

从 $2 (x^{3} + 2 x) + 2 K$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \pm \sqrt{2 (x^{3} + 2 x + K)}$

解题步骤 3.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \sqrt{2 (x^{3} + 2 x + K)}$

解题步骤 3.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \sqrt{2 (x^{3} + 2 x + K)}$

解题步骤 3.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \sqrt{2 (x^{3} + 2 x + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x^{3} + 2 x + K)}$

$y = \sqrt{2 (x^{3} + 2 x + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x^{3} + 2 x + K)}$

$y = \sqrt{2 (x^{3} + 2 x + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x^{3} + 2 x + K)}$

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