微积分学示例

$\frac{d s}{d t} = t^{- \frac{3}{2}}$ , $s (4) = - 1$

解题步骤 1

重写该方程。

$d s = t^{- \frac{3}{2}} d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d s = \int t^{- \frac{3}{2}} d t$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$s + C_{1} = \int t^{- \frac{3}{2}} d t$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

根据幂法则， $t^{- \frac{3}{2}}$ 对 $t$ 的积分是 $- 2 t^{- \frac{1}{2}}$ 。

$s + C_{1} = - 2 t^{- \frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.2

化简答案。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $- 2 t^{- \frac{1}{2}} + C_{2}$ 重写为 $- 2 \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$ 。

$s + C_{1} = - 2 \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.2.2

化简。

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解题步骤 2.3.2.2.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ 。

$s + C_{1} = \frac{- 2}{t^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.2.2.2

将负号移到分数的前面。

$s + C_{1} = - \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$s = - \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $4$ 代入 $t$ ，将 $- 1$ 代入 $s$ ，在 $s = - \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} + K$ 中求 $K$ 的值。

$- 1 = - \frac{2}{4^{\frac{1}{2}}} + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $- \frac{2}{4^{\frac{1}{2}}} + K = - 1$ 。

$- \frac{2}{4^{\frac{1}{2}}} + K = - 1$

解题步骤 4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1

化简分母。

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解题步骤 4.2.1.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$- \frac{2}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}} + K = - 1$

解题步骤 4.2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{2}{2^{2 (\frac{1}{2})}} + K = - 1$

解题步骤 4.2.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.3.1

约去公因数。

$- \frac{2}{2^{2 (\frac{1}{2})}} + K = - 1$

解题步骤 4.2.1.3.2

重写表达式。

$- \frac{2}{2^{1}} + K = - 1$

解题步骤 4.2.1.4

计算指数。

$- \frac{2}{2} + K = - 1$

解题步骤 4.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1

约去公因数。

$- \frac{2}{2} + K = - 1$

解题步骤 4.2.2.2

重写表达式。

$- 1 \cdot 1 + K = - 1$

解题步骤 4.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1 + K = - 1$

解题步骤 4.3

将所有不包含 $K$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.3.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$K = - 1 + 1$

解题步骤 4.3.2

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$K = 0$

解题步骤 5

代入 $0$ 替换 $s = - \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $0$ 替换 $K$ 。

$s = - \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} + 0$

解题步骤 5.2

将 $- \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}}$ 和 $0$ 相加。

$s = - \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}}$

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