微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = {(e^{x} + 7)}^{2}$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = {(e^{x} + 7)}^{2} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int {(e^{x} + 7)}^{2} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int {(e^{x} + 7)}^{2} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

化简。

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解题步骤 2.3.1.1

将 ${(e^{x} + 7)}^{2}$ 重写为 $(e^{x} + 7) (e^{x} + 7)$ 。

$y + C_{1} = \int (e^{x} + 7) (e^{x} + 7) d x$

解题步骤 2.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(e^{x} + 7) (e^{x} + 7)$ 。

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解题步骤 2.3.1.2.1

运用分配律。

$y + C_{1} = \int e^{x} (e^{x} + 7) + 7 (e^{x} + 7) d x$

解题步骤 2.3.1.2.2

运用分配律。

$y + C_{1} = \int e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 7 + 7 (e^{x} + 7) d x$

解题步骤 2.3.1.2.3

运用分配律。

$y + C_{1} = \int e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 7 + 7 e^{x} + 7 \cdot 7 d x$

解题步骤 2.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.3.1.1

通过指数相加将 $e^{x}$ 乘以 $e^{x}$ 。

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解题步骤 2.3.1.3.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y + C_{1} = \int e^{x + x} + e^{x} \cdot 7 + 7 e^{x} + 7 \cdot 7 d x$

解题步骤 2.3.1.3.1.1.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$y + C_{1} = \int e^{2 x} + e^{x} \cdot 7 + 7 e^{x} + 7 \cdot 7 d x$

解题步骤 2.3.1.3.1.2

将 $7$ 移到 $e^{x}$ 的左侧。

$y + C_{1} = \int e^{2 x} + 7 \cdot e^{x} + 7 e^{x} + 7 \cdot 7 d x$

解题步骤 2.3.1.3.1.3

将 $7$ 乘以 $7$ 。

$y + C_{1} = \int e^{2 x} + 7 e^{x} + 7 e^{x} + 49 d x$

解题步骤 2.3.1.3.2

将 $7 e^{x}$ 和 $7 e^{x}$ 相加。

$y + C_{1} = \int e^{2 x} + 14 e^{x} + 49 d x$

解题步骤 2.3.2

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{1} = \int e^{2 x} d x + \int 14 e^{x} d x + \int 49 d x$

解题步骤 2.3.3

使 $u = 2 x$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.3.1

设 $u = 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.3.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.3.3.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 2.3.3.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 2.3.3.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$y + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int 14 e^{x} d x + \int 49 d x$

解题步骤 2.3.4

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 14 e^{x} d x + \int 49 d x$

解题步骤 2.3.5

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int 14 e^{x} d x + \int 49 d x$

解题步骤 2.3.6

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + \int 14 e^{x} d x + \int 49 d x$

解题步骤 2.3.7

由于 $14$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $14$ 移到积分外。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + 14 \int e^{x} d x + \int 49 d x$

解题步骤 2.3.8

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + 14 (e^{x} + C_{3}) + \int 49 d x$

解题步骤 2.3.9

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + 14 (e^{x} + C_{3}) + 49 x + C_{4}$

解题步骤 2.3.10

化简。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u} + 14 e^{x} + 49 x + C_{5}$

解题步骤 2.3.11

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} + 14 e^{x} + 49 x + C_{5}$

解题步骤 2.3.12

重新排序项。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} + 49 x + 14 e^{x} + C_{5}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = \frac{1}{2} e^{2 x} + 49 x + 14 e^{x} + K$

微积分学 示例

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