微积分学示例

$\frac{d c}{d y} = 0.5 + \frac{0.2}{\sqrt{y}}$

解题步骤 1

重写该方程。

$d c = (0.5 + \frac{0.2}{\sqrt{y}}) d y$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d c = \int 0.5 + \frac{0.2}{\sqrt{y}} d y$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$c + C_{1} = \int 0.5 + \frac{0.2}{\sqrt{y}} d y$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$c + C_{1} = \int 0.5 d y + \int \frac{0.2}{\sqrt{y}} d y$

解题步骤 2.3.2

应用常数不变法则。

$c + C_{1} = 0.5 y + C_{2} + \int \frac{0.2}{\sqrt{y}} d y$

解题步骤 2.3.3

由于 $0.2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $0.2$ 移到积分外。

$c + C_{1} = 0.5 y + C_{2} + 0.2 \int \frac{1}{\sqrt{y}} d y$

解题步骤 2.3.4

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.3.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y}$ 重写成 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$c + C_{1} = 0.5 y + C_{2} + 0.2 \int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y$

解题步骤 2.3.4.2

通过将 $y^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$c + C_{1} = 0.5 y + C_{2} + 0.2 \int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y$

解题步骤 2.3.4.3

将 ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.4.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$c + C_{1} = 0.5 y + C_{2} + 0.2 \int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y$

解题步骤 2.3.4.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$c + C_{1} = 0.5 y + C_{2} + 0.2 \int y^{\frac{- 1}{2}} d y$

解题步骤 2.3.4.3.3

将负号移到分数的前面。

$c + C_{1} = 0.5 y + C_{2} + 0.2 \int y^{- \frac{1}{2}} d y$

解题步骤 2.3.5

根据幂法则， $y^{- \frac{1}{2}}$ 对 $y$ 的积分是 $2 y^{\frac{1}{2}}$ 。

$c + C_{1} = 0.5 y + C_{2} + 0.2 (2 y^{\frac{1}{2}} + C_{3})$

解题步骤 2.3.6

化简。

$c + C_{1} = 0.5 y + 0.4 y^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$c = 0.5 y + 0.4 y^{\frac{1}{2}} + K$

微积分学 示例

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