微积分学示例

$\frac{d v}{d t} = \frac{6}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t)$ , $v (0) = 3$

解题步骤 1

重写该方程。

$d v = (\frac{6}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d v = \int \frac{6}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$v + C_{1} = \int \frac{6}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$v + C_{1} = \int \frac{6}{1 + t^{2}} d t + \int \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 2.3.2

由于 $6$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $6$ 移到积分外。

$v + C_{1} = 6 \int \frac{1}{1 + t^{2}} d t + \int \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 2.3.3

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$v + C_{1} = 6 \int \frac{1}{1^{2} + t^{2}} d t + \int \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 2.3.4

$\frac{1}{1^{2} + t^{2}}$ 对 $t$ 的积分为 $\arctan (t) + C_{2}$ 。

$v + C_{1} = 6 (\arctan (t) + C_{2}) + \int \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 2.3.5

因为 $\tan (t)$ 的导数为 $\sec^{2} (t)$ ，所以 $\sec^{2} (t)$ 的积分为 $\tan (t)$ 。

$v + C_{1} = 6 (\arctan (t) + C_{2}) + \tan (t) + C_{3}$

解题步骤 2.3.6

化简。

$v + C_{1} = 6 \arctan (t) + \tan (t) + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$v = 6 \arctan (t) + \tan (t) + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $0$ 代入 $t$ ，将 $3$ 代入 $v$ ，在 $v = 6 \arctan (t) + \tan (t) + K$ 中求 $K$ 的值。

$3 = 6 \arctan (0) + \tan (0) + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $6 \arctan (0) + \tan (0) + K = 3$ 。

$6 \arctan (0) + \tan (0) + K = 3$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

化简 $6 \arctan (0) + \tan (0) + K$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1.1

$\arctan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$6 \cdot 0 + \tan (0) + K = 3$

解题步骤 4.2.1.1.2

将 $6$ 乘以 $0$ 。

$0 + \tan (0) + K = 3$

解题步骤 4.2.1.1.3

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$0 + 0 + K = 3$

解题步骤 4.2.1.2

合并 $0 + 0 + K$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.1.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 + K = 3$

解题步骤 4.2.1.2.2

将 $0$ 和 $K$ 相加。

$K = 3$

解题步骤 5

代入 $3$ 替换 $v = 6 \arctan (t) + \tan (t) + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $3$ 替换 $K$ 。

$v = 6 \arctan (t) + \tan (t) + 3$

微积分学 示例

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