微积分学示例

$\frac{d r}{d t} = 6 t + \sec^{2} (t)$ , $r (- π) = 5$

解题步骤 1

重写该方程。

$d r = (6 t + \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d r = \int 6 t + \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$r + C_{1} = \int 6 t + \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$r + C_{1} = \int 6 t d t + \int \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 2.3.2

由于 $6$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $6$ 移到积分外。

$r + C_{1} = 6 \int t d t + \int \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 2.3.3

根据幂法则， $t$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{2} t^{2}$ 。

$r + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 2.3.4

因为 $\tan (t)$ 的导数为 $\sec^{2} (t)$ ，所以 $\sec^{2} (t)$ 的积分为 $\tan (t)$ 。

$r + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \tan (t) + C_{3}$

解题步骤 2.3.5

化简。

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解题步骤 2.3.5.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $t^{2}$ 。

$r + C_{1} = 6 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + \tan (t) + C_{3}$

解题步骤 2.3.5.2

化简。

$r + C_{1} = 3 t^{2} + \tan (t) + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$r = 3 t^{2} + \tan (t) + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $- π$ 代入 $t$ ，将 $5$ 代入 $r$ ，在 $r = 3 t^{2} + \tan (t) + K$ 中求 $K$ 的值。

$5 = 3 {(- π)}^{2} + \tan (- π) + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $3 {(- π)}^{2} + \tan (- π) + K = 5$ 。

$3 {(- π)}^{2} + \tan (- π) + K = 5$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

化简 $3 {(- π)}^{2} + \tan (- π) + K$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1.1

对 $- π$ 运用乘积法则。

$3 ({(- 1)}^{2} π^{2}) + \tan (- π) + K = 5$

解题步骤 4.2.1.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$3 (1 π^{2}) + \tan (- π) + K = 5$

解题步骤 4.2.1.1.3

将 $π^{2}$ 乘以 $1$ 。

$3 π^{2} + \tan (- π) + K = 5$

解题步骤 4.2.1.1.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正切在第二象限为负。

$3 π^{2} - \tan (0) + K = 5$

解题步骤 4.2.1.1.5

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$3 π^{2} - 0 + K = 5$

解题步骤 4.2.1.1.6

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$3 π^{2} + 0 + K = 5$

解题步骤 4.2.1.2

将 $3 π^{2}$ 和 $0$ 相加。

$3 π^{2} + K = 5$

解题步骤 4.3

从等式两边同时减去 $3 π^{2}$ 。

$K = 5 - 3 π^{2}$

解题步骤 5

代入 $5 - 3 π^{2}$ 替换 $r = 3 t^{2} + \tan (t) + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $5 - 3 π^{2}$ 替换 $K$ 。

$r = 3 t^{2} + \tan (t) + 5 - 3 π^{2}$

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