微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{(x + 7) y^{2}}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

重新组合因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x + 7} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

解题步骤 1.2

两边同时乘以 $y^{2}$ 。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} (\frac{1}{x + 7} \cdot \frac{1}{y^{2}})$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{1}{x + 7}$ 乘以 $\frac{1}{y^{2}}$ 。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1}{(x + 7) y^{2}}$

解题步骤 1.3.2

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.2.1

从 $(x + 7) y^{2}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1}{y^{2} (x + 7)}$

解题步骤 1.3.2.2

约去公因数。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1}{y^{2} (x + 7)}$

解题步骤 1.3.2.3

重写表达式。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x + 7}$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$y^{2} d y = \frac{1}{x + 7} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int y^{2} d y = \int \frac{1}{x + 7} d x$

解题步骤 2.2

根据幂法则， $y^{2}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{3} y^{3}$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{x + 7} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

使 $u = x + 7$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.1.1

设 $u = x + 7$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.1

对 $x + 7$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 7]$

解题步骤 2.3.1.1.2

根据加法法则， $x + 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 2.3.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 2.3.1.1.4

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.3.1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.3.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2.3.2

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

解题步骤 2.3.3

使用 $x + 7$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (| x + 7 |) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} = \ln (| x + 7 |) + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $3$ 。

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\ln (| x + 7 |) + C)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

化简 $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $y^{3}$ 。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\ln (| x + 7 |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\ln (| x + 7 |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{3} = 3 (\ln (| x + 7 |) + C)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

运用分配律。

$y^{3} = 3 \ln (| x + 7 |) + 3 C$

解题步骤 3.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $3 \ln (| x + 7 |)$ 。

$y^{3} = \ln ({| x + 7 |}^{3}) + 3 C$

解题步骤 3.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \sqrt[3]{\ln ({| x + 7 |}^{3}) + 3 C}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \sqrt[3]{\ln ({| x + 7 |}^{3}) + C}$

微积分学 示例

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