微积分学示例

$6 x^{2} d x - 2 (y d) y = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $6 x^{2} d x$ 。

$- 2 y d y = - 6 x^{2} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int - 2 y d y = \int - 6 x^{2} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

由于 $- 2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$- 2 \int y d y = \int - 6 x^{2} d x$

解题步骤 2.2.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$- 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int - 6 x^{2} d x$

解题步骤 2.2.3

化简答案。

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解题步骤 2.2.3.1

将 $- 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ 重写为 $- 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ 。

$- 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int - 6 x^{2} d x$

解题步骤 2.2.3.2

化简。

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解题步骤 2.2.3.2.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{- 2}{2} y^{2} + C_{1} = \int - 6 x^{2} d x$

解题步骤 2.2.3.2.2

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.3.2.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot - 1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - 6 x^{2} d x$

解题步骤 2.2.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.3.2.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} y^{2} + C_{1} = \int - 6 x^{2} d x$

解题步骤 2.2.3.2.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{1} = \int - 6 x^{2} d x$

解题步骤 2.2.3.2.2.2.3

重写表达式。

$\frac{- 1}{1} y^{2} + C_{1} = \int - 6 x^{2} d x$

解题步骤 2.2.3.2.2.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- y^{2} + C_{1} = \int - 6 x^{2} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 6$ 移到积分外。

$- y^{2} + C_{1} = - 6 \int x^{2} d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$- y^{2} + C_{1} = - 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

解题步骤 2.3.3

化简答案。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $- 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ 重写为 $- 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ 。

$- y^{2} + C_{1} = - 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2

化简。

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解题步骤 2.3.3.2.1

组合 $- 6$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$- y^{2} + C_{1} = \frac{- 6}{3} x^{3} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2

约去 $- 6$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.2.1

从 $- 6$ 中分解出因数 $3$ 。

$- y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot - 2}{3} x^{3} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.2.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$- y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot - 2}{3 (1)} x^{3} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2.2.2

约去公因数。

$- y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2.2.3

重写表达式。

$- y^{2} + C_{1} = \frac{- 2}{1} x^{3} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2.2.4

用 $- 2$ 除以 $1$ 。

$- y^{2} + C_{1} = - 2 x^{3} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$- y^{2} = - 2 x^{3} + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将 $- y^{2} = - 2 x^{3} + K$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.1.1

将 $- y^{2} = - 2 x^{3} + K$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{- 2 x^{3}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

解题步骤 3.1.2

化简左边。

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解题步骤 3.1.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{- 2 x^{3}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

解题步骤 3.1.2.2

用 $y^{2}$ 除以 $1$ 。

$y^{2} = \frac{- 2 x^{3}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

解题步骤 3.1.3

化简右边。

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解题步骤 3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.3.1.1

移动 $\frac{- 2 x^{3}}{- 1}$ 中分母的负号。

$y^{2} = - 1 \cdot (- 2 x^{3}) + \frac{K}{- 1}$

解题步骤 3.1.3.1.2

将 $- 1 \cdot (- 2 x^{3})$ 重写为 $- (- 2 x^{3})$ 。

$y^{2} = - (- 2 x^{3}) + \frac{K}{- 1}$

解题步骤 3.1.3.1.3

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$y^{2} = 2 x^{3} + \frac{K}{- 1}$

解题步骤 3.1.3.1.4

移动 $\frac{K}{- 1}$ 中分母的负号。

$y^{2} = 2 x^{3} - 1 \cdot K$

解题步骤 3.1.3.1.5

将 $- 1 \cdot K$ 重写为 $- K$ 。

$y^{2} = 2 x^{3} - K$

解题步骤 3.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{2 x^{3} - K}$

解题步骤 3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \sqrt{2 x^{3} - K}$

解题步骤 3.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \sqrt{2 x^{3} - K}$

解题步骤 3.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \sqrt{2 x^{3} - K}$

$y = - \sqrt{2 x^{3} - K}$

$y = \sqrt{2 x^{3} - K}$

$y = - \sqrt{2 x^{3} - K}$

$y = \sqrt{2 x^{3} - K}$

$y = - \sqrt{2 x^{3} - K}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \sqrt{2 x^{3} + K}$

$y = - \sqrt{2 x^{3} + K}$

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