微积分学示例

$(x y + x + 2 y + 1) d x + (x + 1) d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = x y + x + 2 y + 1$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y + x + 2 y + 1]$

解题步骤 1.2

根据加法法则， $x y + x + 2 y + 1$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d y} [x y]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x y$ 对 $y$ 的导数是 $x \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 1.3.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 1.4

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 0 + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 1.5

计算 $\frac{d}{d y} [2 y]$ 。

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解题步骤 1.5.1

因为 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 y$ 对 $y$ 的导数是 $2 \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 0 + 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 1.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 0 + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 1.5.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 0 + 2 + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 1.6

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 0 + 2 + 0$

解题步骤 1.7

合并项。

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解题步骤 1.7.1

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 2 + 0$

解题步骤 1.7.2

将 $x + 2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 2$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = x + 1$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

解题步骤 2.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $x + 2$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $1$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$x + 2 = 1$

解题步骤 3.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$x + 2 = 1$ 不是恒等式。

解题步骤 4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

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解题步骤 4.1

代入 $x + 2$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{x + 2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

解题步骤 4.2

代入 $1$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{x + 2 - 1}{N}$

解题步骤 4.3

代入 $x + 1$ 替换 $N$ 。

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解题步骤 4.3.1

代入 $x + 1$ 替换 $N$ 。

$\frac{x + 2 - 1}{x + 1}$

解题步骤 4.3.2

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{x + 1}{x + 1}$

解题步骤 4.3.3

约去 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.1

约去公因数。

$\frac{x + 1}{x + 1}$

解题步骤 4.3.3.2

重写表达式。

$1$

解题步骤 4.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int d x}$

解题步骤 5

计算积分 $e^{\int d x}$ 。

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解题步骤 5.1

应用常数不变法则。

$μ (x, y) = e^{x + C}$

解题步骤 5.2

化简。

$μ (x, y) = e^{x} + C$

解题步骤 6

在 $(x y + x + 2 y + 1) d x + (x + 1) d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $e^{x}$ 。

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解题步骤 6.1

将 $x y + x + 2 y + 1$ 乘以 $e^{x}$ 。

$(x y + x + 2 y + 1) e^{x} d x + (x + 1) d y = 0$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$(x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + 1 e^{x}) d x + (x + 1) d y = 0$

解题步骤 6.3

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$(x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}) d x + (x + 1) d y = 0$

解题步骤 6.4

将 $x + 1$ 乘以 $e^{x}$ 。

$(x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}) d x + (x + 1) e^{x} d y = 0$

解题步骤 6.5

运用分配律。

$(x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}) d x + (x e^{x} + 1 e^{x}) d y = 0$

解题步骤 6.6

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$(x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}) d x + (x e^{x} + e^{x}) d y = 0$

解题步骤 7

使 $f (x, y)$ 等于 $N (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int x e^{x} + e^{x} d y$

解题步骤 8

对 $N (x, y) = x e^{x} + e^{x}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 8.1

应用常数不变法则。

$f (x, y) = (x e^{x} + e^{x}) y + C$

解题步骤 9

由于 $g (x)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (x)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = (x e^{x} + e^{x}) y + g (x)$

解题步骤 10

设置 $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial x} = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

解题步骤 11

求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。

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解题步骤 11.1

将 $f$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{d}{d x} [(x e^{x} + e^{x}) y + g (x)] = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

解题步骤 11.2

根据加法法则， $(x e^{x} + e^{x}) y + g (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [(x e^{x} + e^{x}) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [(x e^{x} + e^{x}) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

解题步骤 11.3

计算 $\frac{d}{d x} [(x e^{x} + e^{x}) y]$ 。

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解题步骤 11.3.1

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $(x e^{x} + e^{x}) y$ 对 $x$ 的导数是 $y \frac{d}{d x} [x e^{x} + e^{x}]$ 。

$y \frac{d}{d x} [x e^{x} + e^{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

解题步骤 11.3.2

根据加法法则， $x e^{x} + e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$y (\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

解题步骤 11.3.3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$y (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

解题步骤 11.3.4

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$y (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

解题步骤 11.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$y (x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

解题步骤 11.3.6

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$y (x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + e^{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

解题步骤 11.3.7

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$y (x e^{x} + e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

解题步骤 11.3.8

将 $e^{x}$ 和 $e^{x}$ 相加。

$y (x e^{x} + 2 e^{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

解题步骤 11.4

使用函数法则进行微分，即 $g (x)$ 的导数为 $\frac{d g}{d x}$ 。

$y (x e^{x} + 2 e^{x}) + \frac{d g}{d x} = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

解题步骤 11.5

化简。

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解题步骤 11.5.1

运用分配律。

$y (x e^{x}) + y (2 e^{x}) + \frac{d g}{d x} = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

解题步骤 11.5.2

将 $2$ 移到 $y$ 的左侧。

$y x e^{x} + 2 y e^{x} + \frac{d g}{d x} = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

解题步骤 11.5.3

重新排序项。

$\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + 2 e^{x} y = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

解题步骤 11.5.4

将 $\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + 2 e^{x} y$ 中的因式重新排序。

$\frac{d g}{d x} + x y e^{x} + 2 y e^{x} = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

解题步骤 12

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 12.1

将所有不包含 $\frac{d g}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 12.1.1

从等式两边同时减去 $x y e^{x}$ 。

$\frac{d g}{d x} + 2 y e^{x} = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x} - x y e^{x}$

解题步骤 12.1.2

从等式两边同时减去 $2 y e^{x}$ 。

$\frac{d g}{d x} = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x} - x y e^{x} - 2 y e^{x}$

解题步骤 12.1.3

合并 $x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x} - x y e^{x} - 2 y e^{x}$ 中相反的项。

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解题步骤 12.1.3.1

从 $x y e^{x}$ 中减去 $x y e^{x}$ 。

$\frac{d g}{d x} = x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x} + 0 - 2 y e^{x}$

解题步骤 12.1.3.2

将 $x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x} - 2 y e^{x}$

解题步骤 12.1.3.3

从 $2 y e^{x}$ 中减去 $2 y e^{x}$ 。

$\frac{d g}{d x} = x e^{x} + 0 + e^{x}$

解题步骤 12.1.3.4

将 $x e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = x e^{x} + e^{x}$

解题步骤 13

求 $x e^{x} + e^{x}$ 的不定积分，以求出 $g (x)$ 。

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解题步骤 13.1

对 $\frac{d g}{d x} = x e^{x} + e^{x}$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x e^{x} + e^{x} d x$

解题步骤 13.2

计算 $\int \frac{d g}{d x} d x$ 。

$g (x) = \int x e^{x} + e^{x} d x$

解题步骤 13.3

将单个积分拆分为多个积分。

$g (x) = \int x e^{x} d x + \int e^{x} d x$

解题步骤 13.4

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{x}$ 。

$g (x) = x e^{x} - \int e^{x} d x + \int e^{x} d x$

解题步骤 13.5

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$g (x) = x e^{x} - (e^{x} + C) + \int e^{x} d x$

解题步骤 13.6

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$g (x) = x e^{x} - (e^{x} + C) + e^{x} + C$

解题步骤 13.7

化简。

$g (x) = x e^{x} - e^{x} + e^{x} + C$

解题步骤 13.8

化简。

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解题步骤 13.8.1

将 $- e^{x}$ 和 $e^{x}$ 相加。

$g (x) = x e^{x} + 0 + C$

解题步骤 13.8.2

将 $x e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$g (x) = x e^{x} + C$

解题步骤 14

在 $f (x, y) = (x e^{x} + e^{x}) y + g (x)$ 中代入 $g (x)$ 。

$f (x, y) = (x e^{x} + e^{x}) y + x e^{x} + C$

解题步骤 15

化简 $f (x, y) = (x e^{x} + e^{x}) y + x e^{x} + C$ 。

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解题步骤 15.1

运用分配律。

$f (x, y) = x e^{x} y + e^{x} y + x e^{x} + C$

解题步骤 15.2

将 $f (x, y) = x e^{x} y + e^{x} y + x e^{x} + C$ 中的因式重新排序。

$f (x, y) = x y e^{x} + y e^{x} + x e^{x} + C$

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