微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x e^{- y}}{1 + x^{2}}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

重新组合因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{1 + x^{2}} e^{- y}$

解题步骤 1.2

两边同时乘以 $\frac{1}{e^{- y}}$ 。

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (\frac{x}{1 + x^{2}} e^{- y})$

解题步骤 1.3

约去 $e^{- y}$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1

从 $\frac{x}{1 + x^{2}} e^{- y}$ 中分解出因数 $e^{- y}$ 。

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} \frac{x}{1 + x^{2}})$

解题步骤 1.3.2

约去公因数。

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} \frac{x}{1 + x^{2}})$

解题步骤 1.3.3

重写表达式。

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{1 + x^{2}}$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$\frac{1}{e^{- y}} d y = \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

化简表达式。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $e^{- y}$ 的指数取反来将其从分母中消除。

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.1.2

化简。

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解题步骤 2.2.1.2.1

将 ${(e^{- y})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.1.2.1.2

乘以 $- y \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.2.1.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\int 1 e^{1 y} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.1.2.1.2.2

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$\int 1 e^{y} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.1.2.2

将 $e^{y}$ 乘以 $1$ 。

$\int e^{y} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.2

$e^{y}$ 对 $y$ 的积分为 $e^{y}$ 。

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

使 $u = 1 + x^{2}$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.1.1

设 $u = 1 + x^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.1

对 $1 + x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

解题步骤 2.3.1.1.2

根据加法法则， $1 + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.3.1.1.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.3.1.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 + 2 x$

解题步骤 2.3.1.1.5

将 $0$ 和 $2 x$ 相加。

$2 x$

解题步骤 2.3.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.3.2

化简。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

解题步骤 2.3.2.2

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{1}{2 u} d u$

解题步骤 2.3.3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2.3.4

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

解题步骤 2.3.5

化简。

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

解题步骤 2.3.6

使用 $1 + x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$e^{y} = \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{y}) = \ln (\ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + C)$

解题步骤 3.2

展开左边。

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解题步骤 3.2.1

通过将 $y$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{y})$ 。

$y \ln (e) = \ln (\ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + C)$

解题步骤 3.2.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$y \cdot 1 = \ln (\ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + C)$

解题步骤 3.2.3

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$y = \ln (\ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + C)$

解题步骤 3.3

通过将 $\frac{1}{2}$ 移到对数外来展开 $\ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}})$ 。

$y = \ln (\frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

解题步骤 3.4

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |)$ 。

$y = \ln (\ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + C)$

微积分学 示例

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