微积分学示例

$\frac{d x}{d t} + \frac{2 x}{t} = 4$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{d x}{d t} + M (t) x = Q (t)$ 。

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解题步骤 1.1

从 $\frac{2 x}{t}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d x}{d t} + x \frac{2}{t} = 4$

解题步骤 1.2

将 $x$ 和 $\frac{2}{t}$ 重新排序。

$\frac{d x}{d t} + \frac{2}{t} x = 4$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (t) d t}$ 定义，其中 $P (t) = \frac{2}{t}$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int \frac{2}{t} d t}$

解题步骤 2.2

对 $\frac{2}{t}$ 积分。

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解题步骤 2.2.1

由于 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$e^{2 \int \frac{1}{t} d t}$

解题步骤 2.2.2

$\frac{1}{t}$ 对 $t$ 的积分为 $\ln (| t |)$ 。

$e^{2 (\ln (| t |) + C)}$

解题步骤 2.2.3

化简。

$e^{2 \ln (| t |) + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{2 \ln (t)}$

解题步骤 2.4

使用对数幂法则。

$e^{\ln (t^{2})}$

解题步骤 2.5

指数函数和对数函数互为反函数。

$t^{2}$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $t^{2}$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $t^{2}$ 。

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t^{2} (\frac{2}{t} x) = t^{2} \cdot 4$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

组合 $\frac{2}{t}$ 和 $x$ 。

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t^{2} \frac{2 x}{t} = t^{2} \cdot 4$

解题步骤 3.2.2

约去 $t$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1

从 $t^{2}$ 中分解出因数 $t$ 。

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t \cdot t \frac{2 x}{t} = t^{2} \cdot 4$

解题步骤 3.2.2.2

约去公因数。

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t \cdot t \frac{2 x}{t} = t^{2} \cdot 4$

解题步骤 3.2.2.3

重写表达式。

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t (2 x) = t^{2} \cdot 4$

解题步骤 3.2.3

使用乘法的交换性质重写。

$t^{2} \frac{d x}{d t} + 2 t x = t^{2} \cdot 4$

解题步骤 3.3

将 $4$ 移到 $t^{2}$ 的左侧。

$t^{2} \frac{d x}{d t} + 2 t x = 4 t^{2}$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d t} [t^{2} x] = 4 t^{2}$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d t} [t^{2} x] d t = \int 4 t^{2} d t$

解题步骤 6

对左边积分。

$t^{2} x = \int 4 t^{2} d t$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

由于 $4$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$t^{2} x = 4 \int t^{2} d t$

解题步骤 7.2

根据幂法则， $t^{2}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{3} t^{3}$ 。

$t^{2} x = 4 (\frac{1}{3} t^{3} + C)$

解题步骤 7.3

化简答案。

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解题步骤 7.3.1

将 $4 (\frac{1}{3} t^{3} + C)$ 重写为 $4 (\frac{1}{3}) t^{3} + C$ 。

$t^{2} x = 4 (\frac{1}{3}) t^{3} + C$

解题步骤 7.3.2

组合 $4$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$t^{2} x = \frac{4}{3} t^{3} + C$

解题步骤 8

将 $t^{2} x = \frac{4}{3} t^{3} + C$ 中的每一项除以 $t^{2}$ 并化简。

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解题步骤 8.1

将 $t^{2} x = \frac{4}{3} t^{3} + C$ 中的每一项都除以 $t^{2}$ 。

$\frac{t^{2} x}{t^{2}} = \frac{\frac{4}{3} t^{3}}{t^{2}} + \frac{C}{t^{2}}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去 $t^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{t^{2} x}{t^{2}} = \frac{\frac{4}{3} t^{3}}{t^{2}} + \frac{C}{t^{2}}$

解题步骤 8.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{4}{3} t^{3}}{t^{2}} + \frac{C}{t^{2}}$

解题步骤 8.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.1

化简每一项。

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解题步骤 8.3.1.1

约去 $t^{3}$ 和 $t^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.1.1

从 $\frac{4}{3} t^{3}$ 中分解出因数 $t^{2}$ 。

$x = \frac{t^{2} (\frac{4}{3} t)}{t^{2}} + \frac{C}{t^{2}}$

解题步骤 8.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.1.1.2.1

乘以 $1$ 。

$x = \frac{t^{2} (\frac{4}{3} t)}{t^{2} \cdot 1} + \frac{C}{t^{2}}$

解题步骤 8.3.1.1.2.2

约去公因数。

$x = \frac{t^{2} (\frac{4}{3} t)}{t^{2} \cdot 1} + \frac{C}{t^{2}}$

解题步骤 8.3.1.1.2.3

重写表达式。

$x = \frac{\frac{4}{3} t}{1} + \frac{C}{t^{2}}$

解题步骤 8.3.1.1.2.4

用 $\frac{4}{3} t$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{4}{3} t + \frac{C}{t^{2}}$

解题步骤 8.3.1.2

组合 $\frac{4}{3}$ 和 $t$ 。

$x = \frac{4 t}{3} + \frac{C}{t^{2}}$

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