微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2} + x y}$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{y}{x}$ 的函数。

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解题步骤 1.1

从 $\frac{y^{2}}{x^{2} + x y}$ 中因式分解出 $\frac{y}{x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

从 $\frac{y^{2}}{x^{2} + x y}$ 中分解出因数 $\frac{y}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot \frac{y}{x + y}$

解题步骤 1.1.2

将 $\frac{y}{x}$ 和 $\frac{y}{x + y}$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x + y} \cdot \frac{y}{x}$

解题步骤 1.2

将 $\frac{y}{x + y}$ 乘以 $\frac{\frac{1}{x^{1}}}{\frac{1}{x^{1}}}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x + y} \cdot \frac{\frac{1}{x^{1}}}{\frac{1}{x^{1}}} \frac{y}{x}$

解题步骤 1.3

将 $\frac{y}{x + y}$ 乘以 $\frac{\frac{1}{x^{1}}}{\frac{1}{x^{1}}}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x^{1}}}{(x + y) \frac{1}{x^{1}}} \cdot \frac{y}{x}$

解题步骤 1.4

运用分配律。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x^{1}}}{x \frac{1}{x^{1}} + y \frac{1}{x^{1}}} \cdot \frac{y}{x}$

解题步骤 1.5

化简。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x^{1}}}{x \frac{1}{x} + y \frac{1}{x^{1}}} \cdot \frac{y}{x}$

解题步骤 1.6

化简。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x^{1}}}{x \frac{1}{x} + y \frac{1}{x}} \cdot \frac{y}{x}$

解题步骤 1.7

化简。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x}}{x \frac{1}{x} + y \frac{1}{x}} \cdot \frac{y}{x}$

解题步骤 1.8

组合 $y$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{x \frac{1}{x} + y \frac{1}{x}} \cdot \frac{y}{x}$

解题步骤 1.9

化简每一项。

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解题步骤 1.9.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.9.1.1

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{x \frac{1}{x} + y \frac{1}{x}} \cdot \frac{y}{x}$

解题步骤 1.9.1.2

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + y \frac{1}{x}} \cdot \frac{y}{x}$

解题步骤 1.9.2

组合 $y$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + \frac{y}{x}} \cdot \frac{y}{x}$

解题步骤 2

设 $V = \frac{y}{x}$ 。将 $V$ 代入 $\frac{y}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{V}{1 + V} V$

解题步骤 3

求解 $y$ 的 $V = \frac{y}{x}$ 。

$y = V x$

解题步骤 4

使用乘积法则求 $y = V x$ 对 $x$ 的导数。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

解题步骤 5

代入 $x \frac{d V}{d x} + V$ 替换 $\frac{d y}{d x}$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{1 + V} V$

解题步骤 6

求解代入的微分方程。

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解题步骤 6.1

分离变量。

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解题步骤 6.1.1

求解 $\frac{d V}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1.1

乘以 $\frac{V}{1 + V} V$ 。

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解题步骤 6.1.1.1.1

组合 $\frac{V}{1 + V}$ 和 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V \cdot V}{1 + V}$

解题步骤 6.1.1.1.2

对 $V$ 进行 $1$ 次方运算。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{1} V}{1 + V}$

解题步骤 6.1.1.1.3

对 $V$ 进行 $1$ 次方运算。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{1} V^{1}}{1 + V}$

解题步骤 6.1.1.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{1 + 1}}{1 + V}$

解题步骤 6.1.1.1.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{2}}{1 + V}$

解题步骤 6.1.1.2

从等式两边同时减去 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{1 + V} - V$

解题步骤 6.1.1.3

将 $x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{1 + V} - V$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 6.1.1.3.1

将 $x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{1 + V} - V$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V^{2}}{1 + V}}{x} + \frac{- V}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.1.1.3.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V^{2}}{1 + V}}{x} + \frac{- V}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.2.1.2

用 $\frac{d V}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{2}}{1 + V}}{x} + \frac{- V}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3

化简右边。

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解题步骤 6.1.1.3.3.1

在公分母上合并分子。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{2}}{1 + V} - V}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.2

要将 $- V$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 + V}{1 + V}$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{2}}{1 + V} - V \cdot \frac{1 + V}{1 + V}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.3

化简项。

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解题步骤 6.1.1.3.3.3.1

组合 $- V$ 和 $\frac{1 + V}{1 + V}$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{2}}{1 + V} + \frac{- V (1 + V)}{1 + V}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{2} - V (1 + V)}{1 + V}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.4

化简分子。

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解题步骤 6.1.1.3.3.4.1

从 $V^{2} - V (1 + V)$ 中分解出因数 $V$ 。

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解题步骤 6.1.1.3.3.4.1.1

从 $V^{2}$ 中分解出因数 $V$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot V - V (1 + V)}{1 + V}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.4.1.2

从 $- V (1 + V)$ 中分解出因数 $V$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot V + V (- (1 + V))}{1 + V}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.4.1.3

从 $V \cdot V + V (- (1 + V))$ 中分解出因数 $V$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (V - (1 + V))}{1 + V}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.4.2

运用分配律。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (V - 1 \cdot 1 - V)}{1 + V}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.4.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (V - 1 - V)}{1 + V}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.4.4

从 $V$ 中减去 $V$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (0 - 1)}{1 + V}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.4.5

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot - 1}{1 + V}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.5

化简表达式。

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解题步骤 6.1.1.3.3.5.1

将 $- 1$ 移到 $V$ 的左侧。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- 1 \cdot V}{1 + V}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.5.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V}{1 + V}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.6

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V}{1 + V} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.7

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $\frac{V}{1 + V}$ 。

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V}{x (1 + V)}$

解题步骤 6.1.2

重新组合因数。

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V}{1 + V} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 6.1.3

两边同时乘以 $\frac{1 + V}{V}$ 。

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V}{V} (- \frac{V}{1 + V} \cdot \frac{1}{x})$

解题步骤 6.1.4

化简。

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解题步骤 6.1.4.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = - \frac{1 + V}{V} (\frac{V}{1 + V} \cdot \frac{1}{x})$

解题步骤 6.1.4.2

将 $\frac{V}{1 + V}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = - \frac{1 + V}{V} \cdot \frac{V}{(1 + V) x}$

解题步骤 6.1.4.3

约去 $1 + V$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.4.3.1

将 $- \frac{1 + V}{V}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = \frac{- (1 + V)}{V} \cdot \frac{V}{(1 + V) x}$

解题步骤 6.1.4.3.2

从 $- (1 + V)$ 中分解出因数 $1 + V$ 。

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) \cdot - 1}{V} \cdot \frac{V}{(1 + V) x}$

解题步骤 6.1.4.3.3

从 $(1 + V) x$ 中分解出因数 $1 + V$ 。

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) \cdot - 1}{V} \cdot \frac{V}{(1 + V) (x)}$

解题步骤 6.1.4.3.4

约去公因数。

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) \cdot - 1}{V} \cdot \frac{V}{(1 + V) x}$

解题步骤 6.1.4.3.5

重写表达式。

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V} \cdot \frac{V}{x}$

解题步骤 6.1.4.4

约去 $V$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.4.4.1

约去公因数。

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V} \cdot \frac{V}{x}$

解题步骤 6.1.4.4.2

重写表达式。

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

解题步骤 6.1.5

重写该方程。

$\frac{1 + V}{V} d V = - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2

对两边积分。

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解题步骤 6.2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1 + V}{V} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2

对左边积分。

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解题步骤 6.2.2.1

将分数分解成多个分数。

$\int \frac{1}{V} + \frac{V}{V} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{1}{V} d V + \int \frac{V}{V} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3

约去 $V$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.3.1

约去公因数。

$\int \frac{1}{V} d V + \int \frac{V}{V} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3.2

重写表达式。

$\int \frac{1}{V} d V + \int d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.4

$\frac{1}{V}$ 对 $V$ 的积分为 $\ln (| V |)$ 。

$\ln (| V |) + C_{1} + \int d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.5

应用常数不变法则。

$\ln (| V |) + C_{1} + V + C_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.6

化简。

$\ln (| V |) + V + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.7

重新排序项。

$V + \ln (| V |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.3

对右边积分。

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解题步骤 6.2.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$V + \ln (| V |) + C_{3} = - \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.3.2

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$V + \ln (| V |) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4})$

解题步骤 6.2.3.3

化简。

$V + \ln (| V |) + C_{3} = - \ln (| x |) + C_{4}$

解题步骤 6.2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$V + \ln (| V |) = - \ln (| x |) + C$

解题步骤 7

代入 $\frac{y}{x}$ 替换 $V$ 。

$\frac{y}{x} + \ln (| \frac{y}{x} |) = - \ln (| x |) + C$

解题步骤 8

求解 $y$ 的 $\frac{y}{x} + \ln (| \frac{y}{x} |) = - \ln (| x |) + C$ 。

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解题步骤 8.1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| \frac{y}{x} |) + \ln (| x |) = - \frac{y}{x} + C$

解题步骤 8.2

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln (| \frac{y}{x} | | x |) = - \frac{y}{x} + C$

解题步骤 8.3

乘以 $| \frac{y}{x} | | x |$ 。

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解题步骤 8.3.1

要将绝对值相乘，请将每个绝对值内的项相乘。

$\ln (| \frac{y}{x} \cdot x |) = - \frac{y}{x} + C$

解题步骤 8.3.2

组合 $\frac{y}{x}$ 和 $x$ 。

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = - \frac{y}{x} + C$

解题步骤 8.4

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 8.4.1

约去公因数。

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = - \frac{y}{x} + C$

解题步骤 8.4.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$\ln (| y |) = - \frac{y}{x} + C$

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