微积分学示例

$(y + 1) e^{x} d x - (e^{x} + 1) d y = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $(y + 1) e^{x} d x$ 。

$- (e^{x} + 1) d y = - (y + 1) e^{x} d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)}$ 。

$\frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (- (e^{x} + 1)) d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (- (y + 1) e^{x}) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

使用乘法的交换性质重写。

$- \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (e^{x} + 1) d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (- (y + 1) e^{x}) d x$

解题步骤 3.2

约去 $e^{x} + 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1

将 $- \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (e^{x} + 1) d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (- (y + 1) e^{x}) d x$

解题步骤 3.2.2

约去公因数。

$\frac{- 1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (e^{x} + 1) d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (- (y + 1) e^{x}) d x$

解题步骤 3.2.3

重写表达式。

$\frac{- 1}{y + 1} d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (- (y + 1) e^{x}) d x$

解题步骤 3.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (- (y + 1) e^{x}) d x$

解题步骤 3.4

使用乘法的交换性质重写。

$- \frac{1}{y + 1} d y = - \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

解题步骤 3.5

约去 $y + 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.1

将 $- \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)}$ 中前置负号移到分子中。

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

解题步骤 3.5.2

从 $(e^{x} + 1) (y + 1)$ 中分解出因数 $y + 1$ 。

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{(y + 1) (e^{x} + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

解题步骤 3.5.3

从 $(y + 1) e^{x}$ 中分解出因数 $y + 1$ 。

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{(y + 1) (e^{x} + 1)} ((y + 1) (e^{x})) d x$

解题步骤 3.5.4

约去公因数。

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{(y + 1) (e^{x} + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

解题步骤 3.5.5

重写表达式。

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{e^{x} + 1} e^{x} d x$

解题步骤 3.6

组合 $\frac{- 1}{e^{x} + 1}$ 和 $e^{x}$ 。

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

解题步骤 3.7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{y + 1} d y = - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int - \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

解题步骤 4.2

对左边积分。

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解题步骤 4.2.1

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

解题步骤 4.2.2

使 $u_{1} = y + 1$ 。然后使 $d u_{1} = d y$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 4.2.2.1

设 $u_{1} = y + 1$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d y}$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.1

对 $y + 1$ 求导。

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

解题步骤 4.2.2.1.2

根据加法法则， $y + 1$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ 。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 4.2.2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 4.2.2.1.4

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 4.2.2.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 4.2.2.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$- \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

解题步骤 4.2.3

$\frac{1}{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\ln (| u_{1} |)$ 。

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

解题步骤 4.2.4

化简。

$- \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

解题步骤 4.2.5

使用 $y + 1$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

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解题步骤 4.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

解题步骤 4.3.2

使 $u_{2} = e^{x} + 1$ 。然后使 $d u_{2} = e^{x} d x$ ，以便 $\frac{1}{e^{x}} d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 4.3.2.1

设 $u_{2} = e^{x} + 1$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 4.3.2.1.1

对 $e^{x} + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

解题步骤 4.3.2.1.2

根据加法法则， $e^{x} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.3.2.1.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{x} + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.3.2.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.3.2.1.4.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{x} + 0$

解题步骤 4.3.2.1.4.2

将 $e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$e^{x}$

解题步骤 4.3.2.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 4.3.3

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

解题步骤 4.3.4

化简。

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

解题步骤 4.3.5

使用 $e^{x} + 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \ln (| e^{x} + 1 |) + C_{2}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- \ln (| y + 1 |) = - \ln (| e^{x} + 1 |) + C$

微积分学 示例

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