微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x} - y}{x}$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

将方程重写为 $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

分解分数 $\frac{e^{x} - y}{x}$ 成为两个分数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x}}{x} + \frac{- y}{x}$

解题步骤 1.1.2

从等式两边同时减去 $\frac{- y}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} - \frac{- y}{x} = \frac{e^{x}}{x}$

解题步骤 1.2

从 $- \frac{- y}{x}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{- 1}{x}) = \frac{e^{x}}{x}$

解题步骤 1.3

将 $y$ 和 $- \frac{- 1}{x}$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} - \frac{- 1}{x} y = \frac{e^{x}}{x}$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = - \frac{- 1}{x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int - \frac{- 1}{x} d x}$

解题步骤 2.2

对 $- \frac{- 1}{x}$ 积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1.1

将负号移到分数的前面。

$e^{\int - - \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 2.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{\int 1 \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 2.2.1.3

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $1$ 。

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 2.2.2

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$e^{\ln (| x |) + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{\ln (x)}$

解题步骤 2.4

指数函数和对数函数互为反函数。

$x$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

每一项乘以 $x$ 。

$x \frac{d y}{d x} + x (- \frac{- 1}{x} y) = x \frac{e^{x}}{x}$

解题步骤 3.2

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$x \frac{d y}{d x} - x (\frac{- 1}{x} y) = x \frac{e^{x}}{x}$

解题步骤 3.2.2

将负号移到分数的前面。

$x \frac{d y}{d x} - x (- \frac{1}{x} y) = x \frac{e^{x}}{x}$

解题步骤 3.2.3

组合 $y$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$x \frac{d y}{d x} - x (- \frac{y}{x}) = x \frac{e^{x}}{x}$

解题步骤 3.2.4

约去 $x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.4.1

将 $- \frac{y}{x}$ 中前置负号移到分子中。

$x \frac{d y}{d x} - x \frac{- y}{x} = x \frac{e^{x}}{x}$

解题步骤 3.2.4.2

从 $- x$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \frac{d y}{d x} + x \cdot - 1 \frac{- y}{x} = x \frac{e^{x}}{x}$

解题步骤 3.2.4.3

约去公因数。

$x \frac{d y}{d x} + x \cdot - 1 \frac{- y}{x} = x \frac{e^{x}}{x}$

解题步骤 3.2.4.4

重写表达式。

$x \frac{d y}{d x} - - y = x \frac{e^{x}}{x}$

解题步骤 3.2.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x \frac{d y}{d x} + 1 y = x \frac{e^{x}}{x}$

解题步骤 3.2.6

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$x \frac{d y}{d x} + y = x \frac{e^{x}}{x}$

解题步骤 3.3

约去 $x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

约去公因数。

$x \frac{d y}{d x} + y = x \frac{e^{x}}{x}$

解题步骤 3.3.2

重写表达式。

$x \frac{d y}{d x} + y = e^{x}$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [x y] = e^{x}$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int e^{x} d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$x y = \int e^{x} d x$

解题步骤 7

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$x y = e^{x} + C$

解题步骤 8

将 $x y = e^{x} + C$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

将 $x y = e^{x} + C$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x y}{x} = \frac{e^{x}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 8.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.1

约去 $x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x y}{x} = \frac{e^{x}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 8.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{e^{x}}{x} + \frac{C}{x}$

微积分学 示例

微积分学示例