微积分学示例

$\frac{d y}{d t} = \frac{2 t^{2}}{7 y}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $y$ 。

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{2 t^{2}}{7 y}$

解题步骤 1.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $7 y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{2 t^{2}}{y \cdot 7}$

解题步骤 1.2.2

约去公因数。

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{2 t^{2}}{y \cdot 7}$

解题步骤 1.2.3

重写表达式。

$y \frac{d y}{d t} = \frac{2 t^{2}}{7}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$y d y = \frac{2 t^{2}}{7} d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int y d y = \int \frac{2 t^{2}}{7} d t$

解题步骤 2.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{2 t^{2}}{7} d t$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $\frac{2}{7}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{2}{7}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{7} \int t^{2} d t$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $t^{2}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{3} t^{3}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{7} (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$

解题步骤 2.3.3

化简答案。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $\frac{2}{7} (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$ 重写为 $\frac{2}{7} \cdot \frac{1}{3} t^{3} + C_{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{3} t^{3} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2

化简。

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解题步骤 2.3.3.2.1

将 $\frac{2}{7}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{7 \cdot 3} t^{3} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2

将 $7$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{21} t^{3} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{2}{21} t^{3} + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{2}{21} t^{3} + K)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

化简 $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{2}{21} t^{3} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{2}{21} t^{3} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{2} = 2 (\frac{2}{21} t^{3} + K)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $2 (\frac{2}{21} t^{3} + K)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

组合 $\frac{2}{21}$ 和 $t^{3}$ 。

$y^{2} = 2 (\frac{2 t^{3}}{21} + K)$

解题步骤 3.2.2.1.2

运用分配律。

$y^{2} = 2 \frac{2 t^{3}}{21} + 2 K$

解题步骤 3.2.2.1.3

乘以 $2 \frac{2 t^{3}}{21}$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.3.1

组合 $2$ 和 $\frac{2 t^{3}}{21}$ 。

$y^{2} = \frac{2 (2 t^{3})}{21} + 2 K$

解题步骤 3.2.2.1.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y^{2} = \frac{4 t^{3}}{21} + 2 K$

解题步骤 3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{\frac{4 t^{3}}{21} + 2 K}$

解题步骤 3.4

化简 $\pm \sqrt{\frac{4 t^{3}}{21} + 2 K}$ 。

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解题步骤 3.4.1

从 $\frac{4 t^{3}}{21} + 2 K$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 3.4.1.1

从 $\frac{4 t^{3}}{21}$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \pm \sqrt{2 \frac{2 t^{3}}{21} + 2 K}$

解题步骤 3.4.1.2

从 $2 K$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \pm \sqrt{2 \frac{2 t^{3}}{21} + 2 K}$

解题步骤 3.4.1.3

从 $2 \frac{2 t^{3}}{21} + 2 K$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{2 t^{3}}{21} + K)}$

解题步骤 3.4.2

要将 $K$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{21}{21}$ 。

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{2 t^{3}}{21} + K \cdot \frac{21}{21})}$

解题步骤 3.4.3

化简项。

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解题步骤 3.4.3.1

组合 $K$ 和 $\frac{21}{21}$ 。

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{2 t^{3}}{21} + \frac{K \cdot 21}{21})}$

解题步骤 3.4.3.2

在公分母上合并分子。

$y = \pm \sqrt{2 \frac{2 t^{3} + K \cdot 21}{21}}$

解题步骤 3.4.4

将 $21$ 移到 $K$ 的左侧。

$y = \pm \sqrt{2 \frac{2 t^{3} + 21 K}{21}}$

解题步骤 3.4.5

组合 $2$ 和 $\frac{2 t^{3} + 21 K}{21}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (2 t^{3} + 21 K)}{21}}$

解题步骤 3.4.6

将 $\sqrt{\frac{2 (2 t^{3} + 21 K)}{21}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2 (2 t^{3} + 21 K)}}{\sqrt{21}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 t^{3} + 21 K)}}{\sqrt{21}}$

解题步骤 3.4.7

将 $\frac{\sqrt{2 (2 t^{3} + 21 K)}}{\sqrt{21}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 t^{3} + 21 K)}}{\sqrt{21}} \cdot \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$

解题步骤 3.4.8

合并和化简分母。

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解题步骤 3.4.8.1

将 $\frac{\sqrt{2 (2 t^{3} + 21 K)}}{\sqrt{21}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 t^{3} + 21 K)} \sqrt{21}}{\sqrt{21} \sqrt{21}}$

解题步骤 3.4.8.2

对 $\sqrt{21}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 t^{3} + 21 K)} \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{1} \sqrt{21}}$

解题步骤 3.4.8.3

对 $\sqrt{21}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 t^{3} + 21 K)} \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{1} {\sqrt{21}}^{1}}$

解题步骤 3.4.8.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 t^{3} + 21 K)} \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{1 + 1}}$

解题步骤 3.4.8.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 t^{3} + 21 K)} \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{2}}$

解题步骤 3.4.8.6

将 ${\sqrt{21}}^{2}$ 重写为 $21$ 。

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解题步骤 3.4.8.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{21}$ 重写成 $21^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 t^{3} + 21 K)} \sqrt{21}}{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.4.8.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 t^{3} + 21 K)} \sqrt{21}}{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.4.8.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 t^{3} + 21 K)} \sqrt{21}}{21^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.4.8.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.8.6.4.1

约去公因数。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 t^{3} + 21 K)} \sqrt{21}}{21^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.4.8.6.4.2

重写表达式。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 t^{3} + 21 K)} \sqrt{21}}{21^{1}}$

解题步骤 3.4.8.6.5

计算指数。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 t^{3} + 21 K)} \sqrt{21}}{21}$

解题步骤 3.4.9

化简分子。

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解题步骤 3.4.9.1

使用根数乘积法则进行合并。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 t^{3} + 21 K) \cdot 21}}{21}$

解题步骤 3.4.9.2

将 $21$ 乘以 $2$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{42 (2 t^{3} + 21 K)}}{21}$

解题步骤 3.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \frac{\sqrt{42 (2 t^{3} + 21 K)}}{21}$

解题步骤 3.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \frac{\sqrt{42 (2 t^{3} + 21 K)}}{21}$

解题步骤 3.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \frac{\sqrt{42 (2 t^{3} + 21 K)}}{21}$

$y = - \frac{\sqrt{42 (2 t^{3} + 21 K)}}{21}$

$y = \frac{\sqrt{42 (2 t^{3} + 21 K)}}{21}$

$y = - \frac{\sqrt{42 (2 t^{3} + 21 K)}}{21}$

$y = \frac{\sqrt{42 (2 t^{3} + 21 K)}}{21}$

$y = - \frac{\sqrt{42 (2 t^{3} + 21 K)}}{21}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \frac{\sqrt{42 (2 t^{3} + K)}}{21}$

$y = - \frac{\sqrt{42 (2 t^{3} + K)}}{21}$

微积分学 示例

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