微积分学示例

$\frac{3}{2} \cdot \frac{d v}{d t} = 13.6 - \frac{1}{2} v$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v}$ 。

$\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} (\frac{3}{2} \frac{d v}{d t}) = \frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} (13.6 - \frac{1}{2} v)$

解题步骤 1.2

约去 $13.6 - \frac{1}{2} v$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} (\frac{3}{2} \frac{d v}{d t}) = \frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} (13.6 - \frac{1}{2} v)$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} (\frac{3}{2} \frac{d v}{d t}) = 1$

解题步骤 1.3

去掉多余的括号。

$\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} \cdot \frac{3}{2} \frac{d v}{d t} = 1$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} \cdot \frac{3}{2} d v = 1 d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} \cdot \frac{3}{2} d v = \int d t$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

化简。

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解题步骤 2.2.1.1

组合 $v$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{1}{13.6 - \frac{v}{2}} \cdot \frac{3}{2} d v = \int d t$

解题步骤 2.2.1.2

将 $\frac{1}{13.6 - \frac{v}{2}}$ 乘以 $\frac{3}{2}$ 。

$\int \frac{3}{(13.6 - \frac{v}{2}) \cdot 2} d v = \int d t$

解题步骤 2.2.1.3

将 $2$ 移到 $13.6 - \frac{v}{2}$ 的左侧。

$\int \frac{3}{2 (13.6 - \frac{v}{2})} d v = \int d t$

解题步骤 2.2.2

由于 $\frac{3}{2}$ 对于 $v$ 是常数，所以将 $\frac{3}{2}$ 移到积分外。

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{13.6 - \frac{v}{2}} d v = \int d t$

解题步骤 2.2.3

使 $u = 13.6 - \frac{v}{2}$ 。然后使 $d u = - \frac{1}{2} d v$ ，以便 $- 2 d u = d v$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.3.1

设 $u = 13.6 - \frac{v}{2}$ 。求 $\frac{d u}{d v}$ 。

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解题步骤 2.2.3.1.1

对 $13.6 - \frac{v}{2}$ 求导。

$\frac{d}{d v} [13.6 - \frac{v}{2}]$

解题步骤 2.2.3.1.2

求微分。

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解题步骤 2.2.3.1.2.1

根据加法法则， $13.6 - \frac{v}{2}$ 对 $v$ 的导数是 $\frac{d}{d v} [13.6] + \frac{d}{d v} [- \frac{v}{2}]$ 。

$\frac{d}{d v} [13.6] + \frac{d}{d v} [- \frac{v}{2}]$

解题步骤 2.2.3.1.2.2

因为 $13.6$ 对于 $v$ 是常数，所以 $13.6$ 对 $v$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d v} [- \frac{v}{2}]$

解题步骤 2.2.3.1.3

计算 $\frac{d}{d v} [- \frac{v}{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.3.1.3.1

因为 $- \frac{1}{2}$ 对于 $v$ 是常数，所以 $- \frac{v}{2}$ 对 $v$ 的导数是 $- \frac{1}{2} \frac{d}{d v} [v]$ 。

$0 - \frac{1}{2} \frac{d}{d v} [v]$

解题步骤 2.2.3.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ 等于 $n v^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1$

解题步骤 2.2.3.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$0 - \frac{1}{2}$

解题步骤 2.2.3.1.4

从 $0$ 中减去 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{2}$

解题步骤 2.2.3.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{3}{2} \int \frac{- 1}{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u = \int d t$

解题步骤 2.2.4

化简。

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解题步骤 2.2.4.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{3}{2} \int - \frac{1}{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u = \int d t$

解题步骤 2.2.4.2

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{3}{2} \int - \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u = \int d t$

解题步骤 2.2.4.3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{3}{2} \int - \frac{1}{u} (1 \cdot 2) d u = \int d t$

解题步骤 2.2.4.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3}{2} \int - \frac{1}{u} \cdot 2 d u = \int d t$

解题步骤 2.2.4.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3}{2} \int - 2 \frac{1}{u} d u = \int d t$

解题步骤 2.2.4.6

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{3}{2} \int \frac{- 2}{u} d u = \int d t$

解题步骤 2.2.4.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{3}{2} \int - \frac{2}{u} d u = \int d t$

解题步骤 2.2.5

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{3}{2} (- \int \frac{2}{u} d u) = \int d t$

解题步骤 2.2.6

由于 $2$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\frac{3}{2} (- (2 \int \frac{1}{u} d u)) = \int d t$

解题步骤 2.2.7

化简。

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解题步骤 2.2.7.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3}{2} (- 2 \int \frac{1}{u} d u) = \int d t$

解题步骤 2.2.7.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$\frac{- 2 \cdot 3}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

解题步骤 2.2.7.3

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 6}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

解题步骤 2.2.7.4

约去 $- 6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.7.4.1

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot - 3}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

解题步骤 2.2.7.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.7.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

解题步骤 2.2.7.4.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

解题步骤 2.2.7.4.2.3

重写表达式。

$\frac{- 3}{1} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

解题步骤 2.2.7.4.2.4

用 $- 3$ 除以 $1$ 。

$- 3 \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

解题步骤 2.2.8

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$- 3 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

解题步骤 2.2.9

化简。

$- 3 \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

解题步骤 2.2.10

使用 $13.6 - \frac{v}{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 3 \ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |) + C_{1} = \int d t$

解题步骤 2.2.11

重新排序项。

$- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) + C_{1} = \int d t$

解题步骤 2.3

应用常数不变法则。

$- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) + C_{1} = t + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) = t + C$

解题步骤 3

求解 $v$ 。

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解题步骤 3.1

将 $- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) = t + C$ 中的每一项除以 $- 3$ 并化简。

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解题步骤 3.1.1

将 $- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) = t + C$ 中的每一项都除以 $- 3$ 。

$\frac{- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |)}{- 3} = \frac{t}{- 3} + \frac{C}{- 3}$

解题步骤 3.1.2

化简左边。

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解题步骤 3.1.2.1

约去 $- 3$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |)}{- 3} = \frac{t}{- 3} + \frac{C}{- 3}$

解题步骤 3.1.2.1.2

用 $\ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |)$ 除以 $1$ 。

$\ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) = \frac{t}{- 3} + \frac{C}{- 3}$

解题步骤 3.1.2.2

组合 $v$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |) = \frac{t}{- 3} + \frac{C}{- 3}$

解题步骤 3.1.3

化简右边。

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解题步骤 3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.3.1.1

将负号移到分数的前面。

$\ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |) = - \frac{t}{3} + \frac{C}{- 3}$

解题步骤 3.1.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$\ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |) = - \frac{t}{3} - \frac{C}{3}$

解题步骤 3.2

要求解 $v$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |)} = e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}$

解题步骤 3.3

使用对数的定义将 $\ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |) = - \frac{t}{3} - \frac{C}{3}$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} = | 13.6 - \frac{v}{2} |$

解题步骤 3.4

求解 $v$ 。

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解题步骤 3.4.1

将方程重写为 $| 13.6 - \frac{v}{2} | = e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}$ 。

$| 13.6 - \frac{v}{2} | = e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}$

解题步骤 3.4.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$13.6 - \frac{v}{2} = \pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}$

解题步骤 3.4.3

从等式两边同时减去 $13.6$ 。

$- \frac{v}{2} = \pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6$

解题步骤 3.4.4

等式两边同时乘以 $- 2$ 。

$- 2 (- \frac{v}{2}) = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

解题步骤 3.4.5

化简方程的两边。

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解题步骤 3.4.5.1

化简左边。

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解题步骤 3.4.5.1.1

化简 $- 2 (- \frac{v}{2})$ 。

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解题步骤 3.4.5.1.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.5.1.1.1.1

将 $- \frac{v}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$- 2 \frac{- v}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

解题步骤 3.4.5.1.1.1.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- 1) \frac{- v}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

解题步骤 3.4.5.1.1.1.3

约去公因数。

$2 \cdot - 1 \frac{- v}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

解题步骤 3.4.5.1.1.1.4

重写表达式。

$- - v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

解题步骤 3.4.5.1.1.2

乘。

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解题步骤 3.4.5.1.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

解题步骤 3.4.5.1.1.2.2

将 $v$ 乘以 $1$ 。

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

解题步骤 3.4.5.2

化简右边。

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解题步骤 3.4.5.2.1

化简 $- 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$ 。

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解题步骤 3.4.5.2.1.1

运用分配律。

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}) - 2 \cdot - 13.6$

解题步骤 3.4.5.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $- 13.6$ 。

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}) + 27.2$

解题步骤 3.4.6

将 $- \frac{t}{3}$ 和 $- \frac{C}{3}$ 重新排序。

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{C}{3} - \frac{t}{3}}) + 27.2$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 4.1

化简积分常数。

$v = - 2 (\pm e^{C - \frac{t}{3}}) + 27.2$

解题步骤 4.2

重新排序项。

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} + C}) + 27.2$

解题步骤 4.3

将 $e^{- \frac{t}{3} + C}$ 重写为 $e^{- \frac{t}{3}} e^{C}$ 。

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3}} e^{C}) + 27.2$

解题步骤 4.4

将 $e^{- \frac{t}{3}}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$v = - 2 (\pm e^{C} e^{- \frac{t}{3}}) + 27.2$

解题步骤 4.5

用加号或减号合并常数。

$v = - 2 (C e^{- \frac{t}{3}}) + 27.2$

微积分学 示例

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