微积分学示例

$(2 x + Y) d x + (2 Y + x) d y = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $(2 x + Y) d x$ 。

$(2 Y + x) d y = - (2 x + Y) d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{2 Y + x}$ 。

$\frac{1}{2 Y + x} (2 Y + x) d y = \frac{1}{2 Y + x} (- (2 x + Y)) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

约去 $2 Y + x$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

约去公因数。

$\frac{1}{2 Y + x} (2 Y + x) d y = \frac{1}{2 Y + x} (- (2 x + Y)) d x$

解题步骤 3.1.2

重写表达式。

$1 d y = \frac{1}{2 Y + x} (- (2 x + Y)) d x$

解题步骤 3.2

使用乘法的交换性质重写。

$1 d y = - \frac{1}{2 Y + x} (2 x + Y) d x$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$1 d y = (- \frac{1}{2 Y + x} (2 x) - \frac{1}{2 Y + x} Y) d x$

解题步骤 3.4

乘以 $- \frac{1}{2 Y + x} (2 x)$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$1 d y = (- 2 \frac{1}{2 Y + x} x - \frac{1}{2 Y + x} Y) d x$

解题步骤 3.4.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2 Y + x}$ 。

$1 d y = (\frac{- 2}{2 Y + x} x - \frac{1}{2 Y + x} Y) d x$

解题步骤 3.4.3

组合 $\frac{- 2}{2 Y + x}$ 和 $x$ 。

$1 d y = (\frac{- 2 x}{2 Y + x} - \frac{1}{2 Y + x} Y) d x$

解题步骤 3.5

组合 $Y$ 和 $\frac{1}{2 Y + x}$ 。

$1 d y = (\frac{- 2 x}{2 Y + x} - \frac{Y}{2 Y + x}) d x$

解题步骤 3.6

在公分母上合并分子。

$1 d y = \frac{- 2 x - Y}{2 Y + x} d x$

解题步骤 3.7

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$1 d y = \frac{- (2 x) - Y}{2 Y + x} d x$

解题步骤 3.8

从 $- Y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$1 d y = \frac{- (2 x) - (Y)}{2 Y + x} d x$

解题步骤 3.9

从 $- (2 x) - (Y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$1 d y = \frac{- (2 x + Y)}{2 Y + x} d x$

解题步骤 3.10

将 $- (2 x + Y)$ 重写为 $- 1 (2 x + Y)$ 。

$1 d y = \frac{- 1 (2 x + Y)}{2 Y + x} d x$

解题步骤 3.11

将负号移到分数的前面。

$1 d y = - \frac{2 x + Y}{2 Y + x} d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int - \frac{2 x + Y}{2 Y + x} d x$

解题步骤 4.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int - \frac{2 x + Y}{2 Y + x} d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

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解题步骤 4.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y + C_{1} = - \int \frac{2 x + Y}{2 Y + x} d x$

解题步骤 4.3.2

使 $u = 2 Y + x$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.3.2.1

设 $u = 2 Y + x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.3.2.1.1

对 $2 Y + x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 Y + x]$

解题步骤 4.3.2.1.2

根据加法法则， $2 Y + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 Y] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 Y] + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.3.2.1.3

因为 $2 Y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 Y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.3.2.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 1$

解题步骤 4.3.2.1.5

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1$

解题步骤 4.3.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$y + C_{1} = - \int \frac{2 (u - 2 Y) + Y}{u} d u$

解题步骤 4.3.3

将分数分解成多个分数。

$y + C_{1} = - \int \frac{2 (u - 2 Y)}{u} + \frac{Y}{u} d u$

解题步骤 4.3.4

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{1} = - (\int \frac{2 (u - 2 Y)}{u} d u + \int \frac{Y}{u} d u)$

解题步骤 4.3.5

由于 $2$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$y + C_{1} = - (2 \int \frac{u - 2 Y}{u} d u + \int \frac{Y}{u} d u)$

解题步骤 4.3.6

将分数分解成多个分数。

$y + C_{1} = - (2 \int \frac{u}{u} + \frac{- 2 Y}{u} d u + \int \frac{Y}{u} d u)$

解题步骤 4.3.7

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{1} = - (2 (\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- 2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

解题步骤 4.3.8

约去 $u$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.8.1

约去公因数。

$y + C_{1} = - (2 (\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- 2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

解题步骤 4.3.8.2

重写表达式。

$y + C_{1} = - (2 (\int d u + \int \frac{- 2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

解题步骤 4.3.9

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} + \int \frac{- 2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

解题步骤 4.3.10

将负号移到分数的前面。

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} + \int - \frac{2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

解题步骤 4.3.11

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - \int \frac{2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

解题步骤 4.3.12

由于 $2 Y$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $2 Y$ 移到积分外。

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - (2 Y \int \frac{1}{u} d u)) + \int \frac{Y}{u} d u)$

解题步骤 4.3.13

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - (2 Y (\ln (| u |) + C_{3}))) + \int \frac{Y}{u} d u)$

解题步骤 4.3.14

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - 2 Y (\ln (| u |) + C_{3})) + \int \frac{Y}{u} d u)$

解题步骤 4.3.15

由于 $Y$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $Y$ 移到积分外。

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - 2 Y (\ln (| u |) + C_{3})) + Y \int \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 4.3.16

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - 2 Y (\ln (| u |) + C_{3})) + Y (\ln (| u |) + C_{4}))$

解题步骤 4.3.17

化简。

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解题步骤 4.3.17.1

化简。

$y + C_{1} = - (2 u - 4 Y \ln (| u |) + Y \ln (| u |)) + C_{5}$

解题步骤 4.3.17.2

将 $- 4 Y \ln (| u |)$ 和 $Y \ln (| u |)$ 相加。

$y + C_{1} = - (2 u - 3 Y \ln (| u |)) + C_{5}$

解题步骤 4.3.18

使用 $2 Y + x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y + C_{1} = - (2 (2 Y + x) - 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

解题步骤 4.3.19

化简。

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解题步骤 4.3.19.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.19.1.1

运用分配律。

$y + C_{1} = - (2 (2 Y) + 2 x - 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

解题步骤 4.3.19.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y + C_{1} = - (4 Y + 2 x - 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

解题步骤 4.3.19.2

运用分配律。

$y + C_{1} = - (4 Y) - (2 x) - (- 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

解题步骤 4.3.19.3

化简。

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解题步骤 4.3.19.3.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$y + C_{1} = - 4 Y - (2 x) - (- 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

解题步骤 4.3.19.3.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$y + C_{1} = - 4 Y - 2 x - (- 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

解题步骤 4.3.19.3.3

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$y + C_{1} = - 4 Y - 2 x + 3 (Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

$y + C_{1} = - 4 Y - 2 x + 3 Y \ln (| 2 Y + x |) + C_{5}$

解题步骤 4.3.20

重新排序项。

$y + C_{1} = - 4 Y + 3 Y \ln (| 2 Y + x |) - 2 x + C_{5}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$y = - 4 Y + 3 Y \ln (| 2 Y + x |) - 2 x + C$

微积分学 示例

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