微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = 7 x^{6} - 4 x^{3} + 12$ , $y (1) = 24$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = (7 x^{6} - 4 x^{3} + 12) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int 7 x^{6} - 4 x^{3} + 12 d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int 7 x^{6} - 4 x^{3} + 12 d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{1} = \int 7 x^{6} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int 12 d x$

解题步骤 2.3.2

由于 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $7$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 7 \int x^{6} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int 12 d x$

解题步骤 2.3.3

根据幂法则， $x^{6}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{7} x^{7}$ 。

$y + C_{1} = 7 (\frac{1}{7} x^{7} + C_{2}) + \int - 4 x^{3} d x + \int 12 d x$

解题步骤 2.3.4

由于 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 4$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 7 (\frac{1}{7} x^{7} + C_{2}) - 4 \int x^{3} d x + \int 12 d x$

解题步骤 2.3.5

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$y + C_{1} = 7 (\frac{1}{7} x^{7} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + \int 12 d x$

解题步骤 2.3.6

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = 7 (\frac{1}{7} x^{7} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + 12 x + C_{4}$

解题步骤 2.3.7

化简。

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解题步骤 2.3.7.1

化简。

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解题步骤 2.3.7.1.1

组合 $\frac{1}{7}$ 和 $x^{7}$ 。

$y + C_{1} = 7 (\frac{x^{7}}{7} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + 12 x + C_{4}$

解题步骤 2.3.7.1.2

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$y + C_{1} = 7 (\frac{x^{7}}{7} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) + 12 x + C_{4}$

解题步骤 2.3.7.2

化简。

$y + C_{1} = x^{7} - x^{4} + 12 x + C_{5}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = x^{7} - x^{4} + 12 x + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $1$ 代入 $x$ ，将 $24$ 代入 $y$ ，在 $y = x^{7} - x^{4} + 12 x + K$ 中求 $K$ 的值。

$24 = 1^{7} - 1^{4} + 12 \cdot 1 + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $1^{7} - 1^{4} + 12 \cdot 1 + K = 24$ 。

$1^{7} - 1^{4} + 12 \cdot 1 + K = 24$

解题步骤 4.2

化简 $1^{7} - 1^{4} + 12 \cdot 1 + K$ 。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$1 - 1^{4} + 12 \cdot 1 + K = 24$

解题步骤 4.2.1.2

一的任意次幂都为一。

$1 - 1 \cdot 1 + 12 \cdot 1 + K = 24$

解题步骤 4.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$1 - 1 + 12 \cdot 1 + K = 24$

解题步骤 4.2.1.4

将 $12$ 乘以 $1$ 。

$1 - 1 + 12 + K = 24$

解题步骤 4.2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 4.2.2.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$0 + 12 + K = 24$

解题步骤 4.2.2.2

将 $0$ 和 $12$ 相加。

$12 + K = 24$

解题步骤 4.3

将所有不包含 $K$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.3.1

从等式两边同时减去 $12$ 。

$K = 24 - 12$

解题步骤 4.3.2

从 $24$ 中减去 $12$ 。

$K = 12$

解题步骤 5

代入 $12$ 替换 $y = x^{7} - x^{4} + 12 x + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $12$ 替换 $K$ 。

$y = x^{7} - x^{4} + 12 x + 12$

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