微积分学示例

$\frac{d y}{d x} - 4 = 8 x^{3} - 3 x^{2}$ , $y (1) = 5$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

在等式两边都加上 $4$ 。

$\frac{d y}{d x} = 8 x^{3} - 3 x^{2} + 4$

解题步骤 1.2

重写该方程。

$d y = (8 x^{3} - 3 x^{2} + 4) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int 8 x^{3} - 3 x^{2} + 4 d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int 8 x^{3} - 3 x^{2} + 4 d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{1} = \int 8 x^{3} d x + \int - 3 x^{2} d x + \int 4 d x$

解题步骤 2.3.2

由于 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $8$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 8 \int x^{3} d x + \int - 3 x^{2} d x + \int 4 d x$

解题步骤 2.3.3

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int - 3 x^{2} d x + \int 4 d x$

解题步骤 2.3.4

由于 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 3$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 \int x^{2} d x + \int 4 d x$

解题步骤 2.3.5

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \int 4 d x$

解题步骤 2.3.6

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + 4 x + C_{4}$

解题步骤 2.3.7

化简。

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解题步骤 2.3.7.1

化简。

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解题步骤 2.3.7.1.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$y + C_{1} = 8 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + 4 x + C_{4}$

解题步骤 2.3.7.1.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$y + C_{1} = 8 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{3}) + 4 x + C_{4}$

解题步骤 2.3.7.2

化简。

$y + C_{1} = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x + C_{5}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $1$ 代入 $x$ ，将 $5$ 代入 $y$ ，在 $y = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x + K$ 中求 $K$ 的值。

$5 = 2 \cdot 1^{4} - 1^{3} + 4 \cdot 1 + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $2 \cdot 1^{4} - 1^{3} + 4 \cdot 1 + K = 5$ 。

$2 \cdot 1^{4} - 1^{3} + 4 \cdot 1 + K = 5$

解题步骤 4.2

化简 $2 \cdot 1^{4} - 1^{3} + 4 \cdot 1 + K$ 。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$2 \cdot 1 - 1^{3} + 4 \cdot 1 + K = 5$

解题步骤 4.2.1.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 - 1^{3} + 4 \cdot 1 + K = 5$

解题步骤 4.2.1.3

一的任意次幂都为一。

$2 - 1 \cdot 1 + 4 \cdot 1 + K = 5$

解题步骤 4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 - 1 + 4 \cdot 1 + K = 5$

解题步骤 4.2.1.5

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$2 - 1 + 4 + K = 5$

解题步骤 4.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 4.2.2.1

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$1 + 4 + K = 5$

解题步骤 4.2.2.2

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$5 + K = 5$

解题步骤 4.3

将所有不包含 $K$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.3.1

从等式两边同时减去 $5$ 。

$K = 5 - 5$

解题步骤 4.3.2

从 $5$ 中减去 $5$ 。

$K = 0$

解题步骤 5

代入 $0$ 替换 $y = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $0$ 替换 $K$ 。

$y = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x + 0$

解题步骤 5.2

将 $2 x^{4} - x^{3} + 4 x$ 和 $0$ 相加。

$y = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x$

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