微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = 2 \cdot \frac{1}{x + 7} \cdot y$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (2 \cdot \frac{1}{x + 7} \cdot y)$

解题步骤 1.2

化简。

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解题步骤 1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{y} (\frac{1}{x + 7} y)$

解题步骤 1.2.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{y}$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (\frac{1}{x + 7} y)$

解题步骤 1.2.3

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.1

从 $\frac{1}{x + 7} y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y \frac{1}{x + 7})$

解题步骤 1.2.3.2

约去公因数。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y \frac{1}{x + 7})$

解题步骤 1.2.3.3

重写表达式。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{x + 7}$

解题步骤 1.2.4

组合 $2$ 和 $\frac{1}{x + 7}$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{x + 7}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{x + 7} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2}{x + 7} d x$

解题步骤 2.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2}{x + 7} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x + 7} d x$

解题步骤 2.3.2

使 $u = x + 7$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.2.1

设 $u = x + 7$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1

对 $x + 7$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 7]$

解题步骤 2.3.2.1.2

根据加法法则， $x + 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 2.3.2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 2.3.2.1.4

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.3.2.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.3.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2.3.3

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\ln (| u |) + C_{2})$

解题步骤 2.3.4

化简。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \ln (| u |) + C_{2}$

解题步骤 2.3.5

使用 $x + 7$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \ln (| x + 7 |) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y |) = 2 \ln (| x + 7 |) + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| y |) - 2 \ln (| x + 7 |) = C$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

化简 $\ln (| y |) - 2 \ln (| x + 7 |)$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln (| x + 7 |)$ 。

$\ln (| y |) - \ln ({| x + 7 |}^{2}) = C$

解题步骤 3.2.1.1.2

去掉 ${| x + 7 |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$\ln (| y |) - \ln ({(x + 7)}^{2}) = C$

解题步骤 3.2.1.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}}) = C$

解题步骤 3.3

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}})} = e^{C}$

解题步骤 3.4

使用对数的定义将 $\ln (\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}}) = C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{C} = \frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}}$

解题步骤 3.5

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.5.1

将方程重写为 $\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}} = e^{C}$ 。

$\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}} = e^{C}$

解题步骤 3.5.2

两边同时乘以 ${(x + 7)}^{2}$ 。

$\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}} {(x + 7)}^{2} = e^{C} {(x + 7)}^{2}$

解题步骤 3.5.3

化简左边。

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解题步骤 3.5.3.1

约去 ${(x + 7)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.3.1.1

约去公因数。

$\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}} {(x + 7)}^{2} = e^{C} {(x + 7)}^{2}$

解题步骤 3.5.3.1.2

重写表达式。

$| y | = e^{C} {(x + 7)}^{2}$

解题步骤 3.5.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.5.4.1

化简 $e^{C} {(x + 7)}^{2}$ 。

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解题步骤 3.5.4.1.1

将 ${(x + 7)}^{2}$ 重写为 $(x + 7) (x + 7)$ 。

$| y | = e^{C} ((x + 7) (x + 7))$

解题步骤 3.5.4.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + 7) (x + 7)$ 。

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解题步骤 3.5.4.1.2.1

运用分配律。

$| y | = e^{C} (x (x + 7) + 7 (x + 7))$

解题步骤 3.5.4.1.2.2

运用分配律。

$| y | = e^{C} (x \cdot x + x \cdot 7 + 7 (x + 7))$

解题步骤 3.5.4.1.2.3

运用分配律。

$| y | = e^{C} (x \cdot x + x \cdot 7 + 7 x + 7 \cdot 7)$

解题步骤 3.5.4.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.5.4.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.4.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$| y | = e^{C} (x^{2} + x \cdot 7 + 7 x + 7 \cdot 7)$

解题步骤 3.5.4.1.3.1.2

将 $7$ 移到 $x$ 的左侧。

$| y | = e^{C} (x^{2} + 7 \cdot x + 7 x + 7 \cdot 7)$

解题步骤 3.5.4.1.3.1.3

将 $7$ 乘以 $7$ 。

$| y | = e^{C} (x^{2} + 7 x + 7 x + 49)$

解题步骤 3.5.4.1.3.2

将 $7 x$ 和 $7 x$ 相加。

$| y | = e^{C} (x^{2} + 14 x + 49)$

解题步骤 3.5.4.1.4

运用分配律。

$| y | = e^{C} x^{2} + e^{C} (14 x) + e^{C} \cdot 49$

解题步骤 3.5.4.1.5

化简。

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解题步骤 3.5.4.1.5.1

使用乘法的交换性质重写。

$| y | = e^{C} x^{2} + 14 e^{C} x + e^{C} \cdot 49$

解题步骤 3.5.4.1.5.2

将 $49$ 移到 $e^{C}$ 的左侧。

$| y | = e^{C} x^{2} + 14 e^{C} x + 49 \cdot e^{C}$

解题步骤 3.5.4.1.6

将 $e^{C} x^{2} + 14 e^{C} x + 49 e^{C}$ 中的因式重新排序。

$| y | = x^{2} e^{C} + 14 x e^{C} + 49 e^{C}$

解题步骤 3.5.4.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y = \pm (x^{2} e^{C} + 14 x e^{C} + 49 e^{C})$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \pm (x^{2} C + 14 x C + C)$

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