微积分学示例

$(2 x + e^{y}) d x + x e^{y} d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = 2 x + e^{y}$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x + e^{y}]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $2 x + e^{y}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [e^{y}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [e^{y}]$

解题步骤 1.2.2

因为 $2 x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [e^{y}]$

解题步骤 1.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ 等于 $a^{y} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{y}$

解题步骤 1.4

将 $0$ 和 $e^{y}$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{y}$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = x e^{y}$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{y}]$

解题步骤 2.2

因为 $e^{y}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $x e^{y}$ 对 $x$ 的导数是 $e^{y} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} \cdot 1$

解题步骤 2.4

将 $e^{y}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y}$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $e^{y}$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $e^{y}$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$e^{y} = e^{y}$

解题步骤 3.2

因为两边已证明为相等，所以该方程是恒等式。

$e^{y} = e^{y}$ 是一个恒等式。

解题步骤 4

使 $f (x, y)$ 等于 $N (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int x e^{y} d y$

解题步骤 5

对 $N (x, y) = x e^{y}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 5.1

由于 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $x$ 移到积分外。

$f (x, y) = x \int e^{y} d y$

解题步骤 5.2

$e^{y}$ 对 $y$ 的积分为 $e^{y}$ 。

$f (x, y) = x (e^{y} + C)$

解题步骤 5.3

化简。

$f (x, y) = x e^{y} + C$

解题步骤 6

由于 $g (x)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (x)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = x e^{y} + g (x)$

解题步骤 7

设置 $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x + e^{y}$

解题步骤 8

求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。

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解题步骤 8.1

将 $f$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{d}{d x} [x e^{y} + g (x)] = 2 x + e^{y}$

解题步骤 8.2

根据加法法则， $x e^{y} + g (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + e^{y}$

解题步骤 8.3

计算 $\frac{d}{d x} [x e^{y}]$ 。

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解题步骤 8.3.1

因为 $e^{y}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $x e^{y}$ 对 $x$ 的导数是 $e^{y} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + e^{y}$

解题步骤 8.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + e^{y}$

解题步骤 8.3.3

将 $e^{y}$ 乘以 $1$ 。

$e^{y} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + e^{y}$

解题步骤 8.4

使用函数法则进行微分，即 $g (x)$ 的导数为 $\frac{d g}{d x}$ 。

$e^{y} + \frac{d g}{d x} = 2 x + e^{y}$

解题步骤 8.5

重新排序项。

$\frac{d g}{d x} + e^{y} = 2 x + e^{y}$

解题步骤 9

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 9.1

将所有不包含 $\frac{d g}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 9.1.1

从等式两边同时减去 $e^{y}$ 。

$\frac{d g}{d x} = 2 x + e^{y} - e^{y}$

解题步骤 9.1.2

合并 $2 x + e^{y} - e^{y}$ 中相反的项。

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解题步骤 9.1.2.1

从 $e^{y}$ 中减去 $e^{y}$ 。

$\frac{d g}{d x} = 2 x + 0$

解题步骤 9.1.2.2

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = 2 x$

解题步骤 10

求 $2 x$ 的不定积分，以求出 $g (x)$ 。

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解题步骤 10.1

对 $\frac{d g}{d x} = 2 x$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x d x$

解题步骤 10.2

计算 $\int \frac{d g}{d x} d x$ 。

$g (x) = \int 2 x d x$

解题步骤 10.3

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$g (x) = 2 \int x d x$

解题步骤 10.4

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 10.5

化简答案。

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解题步骤 10.5.1

将 $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ 重写为 $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ 。

$g (x) = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

解题步骤 10.5.2

化简。

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解题步骤 10.5.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

解题步骤 10.5.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.5.2.2.1

约去公因数。

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

解题步骤 10.5.2.2.2

重写表达式。

$g (x) = 1 x^{2} + C$

解题步骤 10.5.2.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$g (x) = x^{2} + C$

解题步骤 11

在 $f (x, y) = x e^{y} + g (x)$ 中代入 $g (x)$ 。

$f (x, y) = x e^{y} + x^{2} + C$

微积分学 示例

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