微积分学示例

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 x + 1}{x} y = e^{- 2 x}$

解题步骤 1

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = \frac{2 x + 1}{x}$ 。

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解题步骤 1.1

建立积分。

$e^{\int \frac{2 x + 1}{x} d x}$

解题步骤 1.2

对 $\frac{2 x + 1}{x}$ 积分。

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解题步骤 1.2.1

将分数分解成多个分数。

$e^{\int \frac{2 x}{x} + \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 1.2.2

将单个积分拆分为多个积分。

$e^{\int \frac{2 x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 1.2.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.1

约去公因数。

$e^{\int \frac{2 x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 1.2.3.2

用 $2$ 除以 $1$ 。

$e^{\int 2 d x + \int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 1.2.4

应用常数不变法则。

$e^{2 x + C + \int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 1.2.5

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$e^{2 x + C + \ln (| x |) + C}$

解题步骤 1.2.6

化简。

$e^{2 x + \ln (| x |) + C}$

解题步骤 1.3

去掉积分常数。

$e^{2 x + \ln (x)}$

解题步骤 2

每一项乘以积分因数 $e^{2 x + \ln (x)}$ 。

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解题步骤 2.1

每一项乘以 $e^{2 x + \ln (x)}$ 。

$e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} + e^{2 x + \ln (x)} (\frac{2 x + 1}{x} y) = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

解题步骤 2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1

组合 $\frac{2 x + 1}{x}$ 和 $y$ 。

$e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} + e^{2 x + \ln (x)} \frac{(2 x + 1) y}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

解题步骤 2.2.2

组合 $e^{2 x + \ln (x)}$ 和 $\frac{(2 x + 1) y}{x}$ 。

$e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

解题步骤 2.3

要将 $e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x}{x} + \frac{e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

解题步骤 2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x + e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

解题步骤 2.5

化简分子。

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解题步骤 2.5.1

从 $e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x + e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y$ 中分解出因数 $e^{2 x + \ln (x)}$ 。

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解题步骤 2.5.1.1

从 $e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x$ 中分解出因数 $e^{2 x + \ln (x)}$ 。

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x) + e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

解题步骤 2.5.1.2

从 $e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y$ 中分解出因数 $e^{2 x + \ln (x)}$ 。

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x) + e^{2 x + \ln (x)} ((2 x + 1) y)}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

解题步骤 2.5.1.3

从 $e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x) + e^{2 x + \ln (x)} ((2 x + 1) y)$ 中分解出因数 $e^{2 x + \ln (x)}$ 。

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + (2 x + 1) y)}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

解题步骤 2.5.2

运用分配律。

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + 1 y)}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

解题步骤 2.5.3

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

解题步骤 2.6

通过指数相加将 $e^{2 x + \ln (x)}$ 乘以 $e^{- 2 x}$ 。

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解题步骤 2.6.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = e^{2 x + \ln (x) - 2 x}$

解题步骤 2.6.2

合并 $2 x + \ln (x) - 2 x$ 中相反的项。

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解题步骤 2.6.2.1

从 $2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = e^{0 + \ln (x)}$

解题步骤 2.6.2.2

将 $0$ 和 $\ln (x)$ 相加。

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = e^{\ln (x)}$

解题步骤 2.7

指数函数和对数函数互为反函数。

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = x$

解题步骤 2.8

将 $\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = x$ 中的因式重新排序。

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y)}{x} = x$

解题步骤 3

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{2 x + \ln (x)} y] = x$

解题步骤 4

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x + \ln (x)} y] d x = \int x d x$

解题步骤 5

对左边积分。

$e^{2 x + \ln (x)} y = \int x d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$e^{2 x + \ln (x)} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 7

将 $e^{2 x + \ln (x)} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ 中的每一项除以 $e^{2 x + \ln (x)}$ 并化简。

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解题步骤 7.1

将 $e^{2 x + \ln (x)} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ 中的每一项都除以 $e^{2 x + \ln (x)}$ 。

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} y}{e^{2 x + \ln (x)}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

解题步骤 7.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.1

约去 $e^{2 x + \ln (x)}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} y}{e^{2 x + \ln (x)}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

解题步骤 7.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

解题步骤 7.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.1

化简每一项。

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解题步骤 7.3.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

解题步骤 7.3.1.2

将分子乘以分母的倒数。

$y = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

解题步骤 7.3.1.3

合并。

$y = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

解题步骤 7.3.1.4

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{x^{2}}{2 e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

微积分学 示例

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