微积分学示例

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x y$ , $y (0) = 1$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

将 $(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x y$ 中的每一项除以 $x^{2} + 1$ 并化简。

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解题步骤 1.1.1

将 $(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x y$ 中的每一项都除以 $x^{2} + 1$ 。

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 1} = \frac{x y}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.2.1

约去 $x^{2} + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 1} = \frac{x y}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.2.1.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.2

重新组合因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 1} y$

解题步骤 1.3

两边同时乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{x}{x^{2} + 1} y)$

解题步骤 1.4

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1

从 $\frac{x}{x^{2} + 1} y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{x^{2} + 1})$

解题步骤 1.4.2

约去公因数。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{x^{2} + 1})$

解题步骤 1.4.3

重写表达式。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.5

重写该方程。

$\frac{1}{y} d y = \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

使 $u = x^{2} + 1$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.1.1

设 $u = x^{2} + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.1

对 $x^{2} + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 2.3.1.1.2

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3.1.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0$

解题步骤 2.3.1.1.5

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x$

解题步骤 2.3.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.3.2

化简。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

解题步骤 2.3.2.2

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u} d u$

解题步骤 2.3.3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2.3.4

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

解题步骤 2.3.5

化简。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

解题步骤 2.3.6

使用 $x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

化简右边。

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解题步骤 3.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\ln (| x^{2} + 1 |)$ 。

$\ln (| y |) = \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

解题步骤 3.2

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

解题步骤 3.3

要将 $\ln (| y |)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\ln (| y |) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

解题步骤 3.4

化简项。

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解题步骤 3.4.1

组合 $\ln (| y |)$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

解题步骤 3.4.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

解题步骤 3.5

将 $2$ 移到 $\ln (| y |)$ 的左侧。

$\frac{2 \ln (| y |) - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

解题步骤 3.6

化简左边。

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解题步骤 3.6.1

化简 $\frac{2 \ln (| y |) - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2}$ 。

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解题步骤 3.6.1.1

化简分子。

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解题步骤 3.6.1.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (| y |)$ 。

$\frac{\ln ({| y |}^{2}) - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

解题步骤 3.6.1.1.2

去掉 ${| y |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$\frac{\ln (y^{2}) - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

解题步骤 3.6.1.1.3

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |})}{2} = C$

解题步骤 3.6.1.2

将 $\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |})}{2}$ 重写为 $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |})$ 。

$\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |}) = C$

解题步骤 3.6.1.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |})$ 。

$\ln ({(\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |})}^{\frac{1}{2}}) = C$

解题步骤 3.6.1.4

对 $\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |}$ 运用乘积法则。

$\ln (\frac{{(y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

解题步骤 3.6.1.5

化简分子。

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解题步骤 3.6.1.5.1

将 ${(y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.6.1.5.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

解题步骤 3.6.1.5.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.1.5.1.2.1

约去公因数。

$\ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

解题步骤 3.6.1.5.1.2.2

重写表达式。

$\ln (\frac{y^{1}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

解题步骤 3.6.1.5.2

化简。

$\ln (\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

解题步骤 3.7

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}})} = e^{C}$

解题步骤 3.8

使用对数的定义将 $\ln (\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{C} = \frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.9

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.9.1

将方程重写为 $\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$ 。

$\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$

解题步骤 3.9.2

两边同时乘以 ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 3.9.3

化简左边。

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解题步骤 3.9.3.1

约去 ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 3.9.3.1.1

约去公因数。

$\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 3.9.3.1.2

重写表达式。

$y = e^{C} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = C {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 5

使用初始条件，通过将 $0$ 代入 $x$ ，将 $1$ 代入 $y$ ，在 $y = C {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ 中求 $C$ 的值。

$1 = C {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6

求解 $C$ 。

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解题步骤 6.1

将方程重写为 $C {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = 1$ 。

$C {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = 1$

解题步骤 6.2

将 $C {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = 1$ 中的每一项除以 ${| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ 并化简。

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解题步骤 6.2.1

将 $C {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = 1$ 中的每一项都除以 ${| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{C {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.2.1

约去公因数。

$\frac{C {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.2.2.2

用 $C$ 除以 $1$ 。

$C = \frac{1}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.2.3.1

化简分母。

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解题步骤 6.2.3.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$C = \frac{1}{{| 0 + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.2.3.1.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$C = \frac{1}{{| 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.2.3.1.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$C = \frac{1}{1^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.2.3.1.4

一的任意次幂都为一。

$C = \frac{1}{1}$

解题步骤 6.2.3.2

用 $1$ 除以 $1$ 。

$C = 1$

解题步骤 7

代入 $1$ 替换 $y = C {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ 中的 $C$ 并化简。

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解题步骤 7.1

代入 $1$ 替换 $C$ 。

$y = 1 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 7.2

将 ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$y = {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

微积分学 示例

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