微积分学示例

$\frac{d p}{d t} = t^{2} p - 3 p + t^{2} - 3$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

因数。

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解题步骤 1.1.1

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.1.1.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{d p}{d t} = (t^{2} p - 3 p) + t^{2} - 3$

解题步骤 1.1.1.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{d p}{d t} = p (t^{2} - 3) + 1 (t^{2} - 3)$

解题步骤 1.1.2

通过因式分解出最大公因数 $t^{2} - 3$ 来因式分解多项式。

$\frac{d p}{d t} = (t^{2} - 3) (p + 1)$

解题步骤 1.2

两边同时乘以 $\frac{1}{p + 1}$ 。

$\frac{1}{p + 1} \frac{d p}{d t} = \frac{1}{p + 1} ((t^{2} - 3) (p + 1))$

解题步骤 1.3

约去 $p + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1

从 $(t^{2} - 3) (p + 1)$ 中分解出因数 $p + 1$ 。

$\frac{1}{p + 1} \frac{d p}{d t} = \frac{1}{p + 1} ((p + 1) (t^{2} - 3))$

解题步骤 1.3.2

约去公因数。

$\frac{1}{p + 1} \frac{d p}{d t} = \frac{1}{p + 1} ((p + 1) (t^{2} - 3))$

解题步骤 1.3.3

重写表达式。

$\frac{1}{p + 1} \frac{d p}{d t} = t^{2} - 3$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$\frac{1}{p + 1} d p = (t^{2} - 3) d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{p + 1} d p = \int t^{2} - 3 d t$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

使 $u = p + 1$ 。然后使 $d u = d p$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.1.1

设 $u = p + 1$ 。求 $\frac{d u}{d p}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1

对 $p + 1$ 求导。

$\frac{d}{d p} [p + 1]$

解题步骤 2.2.1.1.2

根据加法法则， $p + 1$ 对 $p$ 的导数是 $\frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [1]$ 。

$\frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [1]$

解题步骤 2.2.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ 等于 $n p^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d p} [1]$

解题步骤 2.2.1.1.4

因为 $1$ 对于 $p$ 是常数，所以 $1$ 对 $p$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.2.1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.2.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u} d u = \int t^{2} - 3 d t$

解题步骤 2.2.2

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\ln (| u |) + C_{1} = \int t^{2} - 3 d t$

解题步骤 2.2.3

使用 $p + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln (| p + 1 |) + C_{1} = \int t^{2} - 3 d t$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\ln (| p + 1 |) + C_{1} = \int t^{2} d t + \int - 3 d t$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $t^{2}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{3} t^{3}$ 。

$\ln (| p + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} t^{3} + C_{2} + \int - 3 d t$

解题步骤 2.3.3

应用常数不变法则。

$\ln (| p + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} t^{3} + C_{2} - 3 t + C_{3}$

解题步骤 2.3.4

化简。

$\ln (| p + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} t^{3} - 3 t + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| p + 1 |) = \frac{1}{3} t^{3} - 3 t + C$

解题步骤 3

求解 $p$ 。

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解题步骤 3.1

要求解 $p$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| p + 1 |)} = e^{\frac{1}{3} t^{3} - 3 t + C}$

解题步骤 3.2

使用对数的定义将 $\ln (| p + 1 |) = \frac{1}{3} t^{3} - 3 t + C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{\frac{1}{3} t^{3} - 3 t + C} = | p + 1 |$

解题步骤 3.3

求解 $p$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $| p + 1 | = e^{\frac{1}{3} t^{3} - 3 t + C}$ 。

$| p + 1 | = e^{\frac{1}{3} t^{3} - 3 t + C}$

解题步骤 3.3.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $t^{3}$ 。

$| p + 1 | = e^{\frac{t^{3}}{3} - 3 t + C}$

解题步骤 3.3.3

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$p + 1 = \pm e^{\frac{t^{3}}{3} - 3 t + C}$

解题步骤 3.3.4

从等式两边同时减去 $1$ 。

$p = \pm e^{\frac{t^{3}}{3} - 3 t + C} - 1$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 4.1

将 $e^{\frac{t^{3}}{3} - 3 t + C}$ 重写为 $e^{\frac{t^{3}}{3} - 3 t} e^{C}$ 。

$p = \pm e^{\frac{t^{3}}{3} - 3 t} e^{C} - 1$

解题步骤 4.2

将 $e^{\frac{t^{3}}{3} - 3 t}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$p = \pm e^{C} e^{\frac{t^{3}}{3} - 3 t} - 1$

解题步骤 4.3

用加号或减号合并常数。

$p = C e^{\frac{t^{3}}{3} - 3 t} - 1$

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