微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = 25 e^{x} - x^{2}$ , $y (0) = 19$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = (25 e^{x} - x^{2}) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int 25 e^{x} - x^{2} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int 25 e^{x} - x^{2} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{1} = \int 25 e^{x} d x + \int - x^{2} d x$

解题步骤 2.3.2

由于 $25$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $25$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 25 \int e^{x} d x + \int - x^{2} d x$

解题步骤 2.3.3

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$y + C_{1} = 25 (e^{x} + C_{2}) + \int - x^{2} d x$

解题步骤 2.3.4

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 25 (e^{x} + C_{2}) - \int x^{2} d x$

解题步骤 2.3.5

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$y + C_{1} = 25 (e^{x} + C_{2}) - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

解题步骤 2.3.6

化简。

$y + C_{1} = 25 e^{x} - \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

解题步骤 2.3.7

重新排序项。

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} x^{3} + 25 e^{x} + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = - \frac{1}{3} x^{3} + 25 e^{x} + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $0$ 代入 $x$ ，将 $19$ 代入 $y$ ，在 $y = - \frac{1}{3} x^{3} + 25 e^{x} + K$ 中求 $K$ 的值。

$19 = - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 25 e^{0} + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $- \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 25 e^{0} + K = 19$ 。

$- \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 25 e^{0} + K = 19$

解题步骤 4.2

化简 $- \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 25 e^{0} + K$ 。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- \frac{1}{3} \cdot 0 + 25 e^{0} + K = 19$

解题步骤 4.2.1.2

乘以 $- \frac{1}{3} \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.2.1.2.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$0 (\frac{1}{3}) + 25 e^{0} + K = 19$

解题步骤 4.2.1.2.2

将 $0$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$0 + 25 e^{0} + K = 19$

解题步骤 4.2.1.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$0 + 25 \cdot 1 + K = 19$

解题步骤 4.2.1.4

将 $25$ 乘以 $1$ 。

$0 + 25 + K = 19$

解题步骤 4.2.2

将 $0$ 和 $25$ 相加。

$25 + K = 19$

解题步骤 4.3

将所有不包含 $K$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.3.1

从等式两边同时减去 $25$ 。

$K = 19 - 25$

解题步骤 4.3.2

从 $19$ 中减去 $25$ 。

$K = - 6$

解题步骤 5

代入 $- 6$ 替换 $y = - \frac{1}{3} x^{3} + 25 e^{x} + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $- 6$ 替换 $K$ 。

$y = - \frac{1}{3} x^{3} + 25 e^{x} - 6$

解题步骤 5.2

组合 $x^{3}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$y = - \frac{x^{3}}{3} + 25 e^{x} - 6$

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