微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{y^{2} + 1}$ 。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.2

约去 $y^{2} + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

化简表达式。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $y^{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2.2.1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2.2.2

$\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ 对 $y$ 的积分为 $\arctan (y) + C_{1}$ 。

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

化简表达式。

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解题步骤 2.3.1.1

将 $x^{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 2.3.1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

解题步骤 2.3.2

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ 对 $x$ 的积分为 $\arctan (x) + C_{2}$ 。

$\arctan (y) + C_{1} = \arctan (x) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\arctan (x) + K = \arctan (y)$ 。

$\arctan (x) + K = \arctan (y)$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $K$ 。

$\arctan (x) = \arctan (y) - K$

解题步骤 3.3

取方程两边的反正切的逆函数来从反正切内提出 $y$ 。

$x = \tan (\arctan (y) - K)$

解题步骤 3.4

将方程重写为 $\tan (\arctan (y) - K) = x$ 。

$\tan (\arctan (y) - K) = x$

解题步骤 3.5

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $\arctan (y)$ 。

$\arctan (y) - K = \arctan (x)$

解题步骤 3.6

在等式两边都加上 $K$ 。

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

解题步骤 3.7

取方程两边的反正切的逆函数来从反正切内提出 $y$ 。

$y = \tan (\arctan (x) + K)$

解题步骤 3.8

因为 $y$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$\tan (\arctan (y) - K) = x$

解题步骤 3.9

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $\arctan (y)$ 。

$\arctan (y) - K = \arctan (x)$

解题步骤 3.10

在等式两边都加上 $K$ 。

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

解题步骤 3.11

取方程两边的反正切的逆函数来从反正切内提出 $y$ 。

$y = \tan (\arctan (x) + K)$

微积分学 示例

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