微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = {(x + 2)}^{2} e^{y}$ , $y (1) = 0$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{e^{y}}$ 。

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} ({(x + 2)}^{2} e^{y})$

解题步骤 1.2

化简。

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解题步骤 1.2.1

约去 $e^{y}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1.1

从 ${(x + 2)}^{2} e^{y}$ 中分解出因数 $e^{y}$ 。

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} (e^{y} {(x + 2)}^{2})$

解题步骤 1.2.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} (e^{y} {(x + 2)}^{2})$

解题步骤 1.2.1.3

重写表达式。

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = {(x + 2)}^{2}$

解题步骤 1.2.2

将 ${(x + 2)}^{2}$ 重写为 $(x + 2) (x + 2)$ 。

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = (x + 2) (x + 2)$

解题步骤 1.2.3

使用 FOIL 方法展开 $(x + 2) (x + 2)$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

运用分配律。

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x (x + 2) + 2 (x + 2)$

解题步骤 1.2.3.2

运用分配律。

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)$

解题步骤 1.2.3.3

运用分配律。

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

解题步骤 1.2.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.2.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.4.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

解题步骤 1.2.4.1.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2$

解题步骤 1.2.4.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x^{2} + 2 x + 2 x + 4$

解题步骤 1.2.4.2

将 $2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x^{2} + 4 x + 4$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{e^{y}} d y = (x^{2} + 4 x + 4) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{e^{y}} d y = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

化简表达式。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $e^{y}$ 的指数取反来将其从分母中消除。

$\int 1 {(e^{y})}^{- 1} d y = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

解题步骤 2.2.1.2

化简。

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解题步骤 2.2.1.2.1

将 ${(e^{y})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int 1 e^{y \cdot - 1} d y = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

解题步骤 2.2.1.2.1.2

将 $- 1$ 移到 $y$ 的左侧。

$\int 1 e^{- 1 \cdot y} d y = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

解题步骤 2.2.1.2.1.3

将 $- 1 y$ 重写为 $- y$ 。

$\int 1 e^{- y} d y = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

解题步骤 2.2.1.2.2

将 $e^{- y}$ 乘以 $1$ 。

$\int e^{- y} d y = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

解题步骤 2.2.2

使 $u = - y$ 。然后使 $d u = - d y$ ，以便 $- d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.2.1

设 $u = - y$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.1

对 $- y$ 求导。

$\frac{d}{d y} [- y]$

解题步骤 2.2.2.1.2

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y]$ 。

$- \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.2.2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 2.2.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 2.2.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int - e^{u} d u = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

解题步骤 2.2.3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int e^{u} d u = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

解题步骤 2.2.4

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$- (e^{u} + C_{1}) = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

解题步骤 2.2.5

化简。

$- e^{u} + C_{1} = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

解题步骤 2.2.6

使用 $- y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- e^{- y} + C_{1} = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$- e^{- y} + C_{1} = \int x^{2} d x + \int 4 x d x + \int 4 d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int 4 x d x + \int 4 d x$

解题步骤 2.3.3

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 4 \int x d x + \int 4 d x$

解题步骤 2.3.4

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int 4 d x$

解题步骤 2.3.5

应用常数不变法则。

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 4 x + C_{4}$

解题步骤 2.3.6

化简。

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解题步骤 2.3.6.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) + 4 x + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2

化简。

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2} + 4 x + C_{5}$

解题步骤 2.3.6.3

重新排序项。

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + C_{5}$

解题步骤 2.3.7

重新排序项。

$- e^{- y} + C_{1} = 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + C_{5}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$- e^{- y} = 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将 $- e^{- y} = 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + K$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.1.1

将 $- e^{- y} = 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + K$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- e^{- y}}{- 1} = \frac{2 x^{2}}{- 1} + \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

解题步骤 3.1.2

化简左边。

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解题步骤 3.1.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{e^{- y}}{1} = \frac{2 x^{2}}{- 1} + \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

解题步骤 3.1.2.2

用 $e^{- y}$ 除以 $1$ 。

$e^{- y} = \frac{2 x^{2}}{- 1} + \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

解题步骤 3.1.3

化简右边。

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解题步骤 3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.3.1.1

移动 $\frac{2 x^{2}}{- 1}$ 中分母的负号。

$e^{- y} = - 1 \cdot (2 x^{2}) + \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

解题步骤 3.1.3.1.2

将 $- 1 \cdot (2 x^{2})$ 重写为 $- (2 x^{2})$ 。

$e^{- y} = - (2 x^{2}) + \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

解题步骤 3.1.3.1.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- y} = - 2 x^{2} + \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

解题步骤 3.1.3.1.4

移动 $\frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1}$ 中分母的负号。

$e^{- y} = - 2 x^{2} - 1 \cdot (\frac{1}{3} x^{3}) + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

解题步骤 3.1.3.1.5

将 $- 1 \cdot (\frac{1}{3} x^{3})$ 重写为 $- (\frac{1}{3} x^{3})$ 。

$e^{- y} = - 2 x^{2} - (\frac{1}{3} x^{3}) + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

解题步骤 3.1.3.1.6

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$e^{- y} = - 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

解题步骤 3.1.3.1.7

移动 $\frac{4 x}{- 1}$ 中分母的负号。

$e^{- y} = - 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 1 \cdot (4 x) + \frac{K}{- 1}$

解题步骤 3.1.3.1.8

将 $- 1 \cdot (4 x)$ 重写为 $- (4 x)$ 。

$e^{- y} = - 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - (4 x) + \frac{K}{- 1}$

解题步骤 3.1.3.1.9

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- y} = - 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x + \frac{K}{- 1}$

解题步骤 3.1.3.1.10

移动 $\frac{K}{- 1}$ 中分母的负号。

$e^{- y} = - 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - 1 \cdot K$

解题步骤 3.1.3.1.11

将 $- 1 \cdot K$ 重写为 $- K$ 。

$e^{- y} = - 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K$

解题步骤 3.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{- y}) = \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$

解题步骤 3.3

展开左边。

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解题步骤 3.3.1

通过将 $- y$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{- y})$ 。

$- y \ln (e) = \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$

解题步骤 3.3.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$- y \cdot 1 = \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$

解题步骤 3.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- y = \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$

解题步骤 3.4

将 $- y = \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.4.1

将 $- y = \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)}{- 1}$

解题步骤 3.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)}{- 1}$

解题步骤 3.4.2.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)}{- 1}$

解题步骤 3.4.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.3.1

移动 $\frac{\ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)}{- 1}$ 中分母的负号。

$y = - 1 \cdot \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$

解题步骤 3.4.3.2

将 $- 1 \cdot \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$ 重写为 $- \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$ 。

$y = - \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = - \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x + K)$

解题步骤 5

使用初始条件，通过将 $1$ 代入 $x$ ，将 $0$ 代入 $y$ ，在 $y = - \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x + K)$ 中求 $K$ 的值。

$0 = - \ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + K)$

解题步骤 6

求解 $K$ 。

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解题步骤 6.1

将方程重写为 $- \ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + K) = 0$ 。

$- \ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + K) = 0$

解题步骤 6.2

将 $- \ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + K) = 0$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 6.2.1

将 $- \ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + K) = 0$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + K)}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 6.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.2.1

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 6.2.2.1.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 + K)}{1} = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 6.2.2.1.2

用 $\ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 + K)$ 除以 $1$ 。

$\ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 6.2.2.2

化简每一项。

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解题步骤 6.2.2.2.1

一的任意次幂都为一。

$\ln (- 2 \cdot 1 - \frac{1^{3}}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 6.2.2.2.2

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\ln (- 2 - \frac{1^{3}}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 6.2.2.2.3

一的任意次幂都为一。

$\ln (- 2 - \frac{1}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 6.2.2.3

要将 $- 2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\ln (- 2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 6.2.2.4

组合 $- 2$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\ln (\frac{- 2 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 6.2.2.5

在公分母上合并分子。

$\ln (\frac{- 2 \cdot 3 - 1}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 6.2.2.6

化简分子。

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解题步骤 6.2.2.6.1

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$\ln (\frac{- 6 - 1}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 6.2.2.6.2

从 $- 6$ 中减去 $1$ 。

$\ln (\frac{- 7}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 6.2.2.7

将负号移到分数的前面。

$\ln (- \frac{7}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 6.2.2.8

要将 $- 4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\ln (- \frac{7}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3} + K) = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 6.2.2.9

组合 $- 4$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\ln (- \frac{7}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + K) = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 6.2.2.10

在公分母上合并分子。

$\ln (\frac{- 7 - 4 \cdot 3}{3} + K) = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 6.2.2.11

化简分子。

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解题步骤 6.2.2.11.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$\ln (\frac{- 7 - 12}{3} + K) = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 6.2.2.11.2

从 $- 7$ 中减去 $12$ 。

$\ln (\frac{- 19}{3} + K) = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 6.2.2.12

将负号移到分数的前面。

$\ln (- \frac{19}{3} + K) = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 6.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.2.3.1

用 $0$ 除以 $- 1$ 。

$\ln (- \frac{19}{3} + K) = 0$

解题步骤 6.3

要求解 $K$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (- \frac{19}{3} + K)} = e^{0}$

解题步骤 6.4

使用对数的定义将 $\ln (- \frac{19}{3} + K) = 0$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{0} = - \frac{19}{3} + K$

解题步骤 6.5

求解 $K$ 。

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解题步骤 6.5.1

将方程重写为 $- \frac{19}{3} + K = e^{0}$ 。

$- \frac{19}{3} + K = e^{0}$

解题步骤 6.5.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$- \frac{19}{3} + K = 1$

解题步骤 6.5.3

将所有不包含 $K$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.5.3.1

在等式两边都加上 $\frac{19}{3}$ 。

$K = 1 + \frac{19}{3}$

解题步骤 6.5.3.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$K = \frac{3}{3} + \frac{19}{3}$

解题步骤 6.5.3.3

在公分母上合并分子。

$K = \frac{3 + 19}{3}$

解题步骤 6.5.3.4

将 $3$ 和 $19$ 相加。

$K = \frac{22}{3}$

解题步骤 7

代入 $\frac{22}{3}$ 替换 $y = - \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x + K)$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 7.1

代入 $\frac{22}{3}$ 替换 $K$ 。

$y = - \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x + \frac{22}{3})$

微积分学 示例

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