微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = {(2 + y)}^{2}$

解题步骤 1

分离变量。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{{(2 + y)}^{2}}$ 。

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} {(2 + y)}^{2}$

解题步骤 1.2

约去 ${(2 + y)}^{2}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} {(2 + y)}^{2}$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = 1$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} d y = 1 d x$

解题步骤 2

对两边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} d y = \int d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

使 $u = 2 + y$ 。然后使 $d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1.1

设 $u = 2 + y$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1.1.1

对 $2 + y$ 求导。

$\frac{d}{d y} [2 + y]$

解题步骤 2.2.1.1.2

根据加法法则， $2 + y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.2.1.1.3

因为 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.2.1.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 1$

解题步骤 2.2.1.1.5

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1$

解题步骤 2.2.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u^{2}} d u = \int d x$

解题步骤 2.2.2

应用指数的基本规则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.2.1

通过将 $u^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u = \int d x$

解题步骤 2.2.2.2

将 ${(u^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int u^{2 \cdot - 1} d u = \int d x$

解题步骤 2.2.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int u^{- 2} d u = \int d x$

解题步骤 2.2.3

根据幂法则， $u^{- 2}$ 对 $u$ 的积分是 $- u^{- 1}$ 。

$- u^{- 1} + C_{1} = \int d x$

解题步骤 2.2.4

将 $- u^{- 1} + C_{1}$ 重写为 $- \frac{1}{u} + C_{1}$ 。

$- \frac{1}{u} + C_{1} = \int d x$

解题步骤 2.2.5

使用 $2 + y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = \int d x$

解题步骤 2.3

应用常数不变法则。

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = x + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$- \frac{1}{2 + y} = x + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$2 + y, 1, 1$

解题步骤 3.1.2

去掉圆括号。

$2 + y, 1, 1$

解题步骤 3.1.3

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$2 + y$

解题步骤 3.2

将 $- \frac{1}{2 + y} = x + K$ 中的每一项乘以 $2 + y$ 以消去分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

将 $- \frac{1}{2 + y} = x + K$ 中的每一项乘以 $2 + y$ 。

$- \frac{1}{2 + y} (2 + y) = x (2 + y) + K (2 + y)$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.1

约去 $2 + y$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.1.1

将 $- \frac{1}{2 + y}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 1}{2 + y} (2 + y) = x (2 + y) + K (2 + y)$

解题步骤 3.2.2.1.2

约去公因数。

$\frac{- 1}{2 + y} (2 + y) = x (2 + y) + K (2 + y)$

解题步骤 3.2.2.1.3

重写表达式。

$- 1 = x (2 + y) + K (2 + y)$

解题步骤 3.2.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.3.1.1

运用分配律。

$- 1 = x \cdot 2 + x y + K (2 + y)$

解题步骤 3.2.3.1.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$- 1 = 2 \cdot x + x y + K (2 + y)$

解题步骤 3.2.3.1.3

运用分配律。

$- 1 = 2 x + x y + K \cdot 2 + K y$

解题步骤 3.2.3.1.4

将 $2$ 移到 $K$ 的左侧。

$- 1 = 2 x + x y + 2 K + K y$

解题步骤 3.3

求解方程。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $2 x + x y + 2 K + K y = - 1$ 。

$2 x + x y + 2 K + K y = - 1$

解题步骤 3.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1

从等式两边同时减去 $2 x$ 。

$x y + 2 K + K y = - 1 - 2 x$

解题步骤 3.3.2.2

从等式两边同时减去 $2 K$ 。

$x y + K y = - 1 - 2 x - 2 K$

解题步骤 3.3.3

从 $x y + K y$ 中分解出因数 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.3.1

从 $x y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y x + K y = - 1 - 2 x - 2 K$

解题步骤 3.3.3.2

从 $K y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y x + y K = - 1 - 2 x - 2 K$

解题步骤 3.3.3.3

从 $y x + y K$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (x + K) = - 1 - 2 x - 2 K$

解题步骤 3.3.4

将 $y (x + K) = - 1 - 2 x - 2 K$ 中的每一项除以 $x + K$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.4.1

将 $y (x + K) = - 1 - 2 x - 2 K$ 中的每一项都除以 $x + K$ 。

$\frac{y (x + K)}{x + K} = \frac{- 1}{x + K} + \frac{- 2 x}{x + K} + \frac{- 2 K}{x + K}$

解题步骤 3.3.4.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.4.2.1

约去 $x + K$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y (x + K)}{x + K} = \frac{- 1}{x + K} + \frac{- 2 x}{x + K} + \frac{- 2 K}{x + K}$

解题步骤 3.3.4.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{- 1}{x + K} + \frac{- 2 x}{x + K} + \frac{- 2 K}{x + K}$

解题步骤 3.3.4.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.4.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.4.3.1.1

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{1}{x + K} + \frac{- 2 x}{x + K} + \frac{- 2 K}{x + K}$

解题步骤 3.3.4.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{1}{x + K} - \frac{2 x}{x + K} + \frac{- 2 K}{x + K}$

解题步骤 3.3.4.3.1.3

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{1}{x + K} - \frac{2 x}{x + K} - \frac{2 K}{x + K}$

解题步骤 3.3.4.3.2

化简项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.4.3.2.1

在公分母上合并分子。

$y = \frac{- 1 - 2 x}{x + K} - \frac{2 K}{x + K}$

解题步骤 3.3.4.3.2.2

在公分母上合并分子。

$y = \frac{- 1 - 2 x - 2 K}{x + K}$

解题步骤 3.3.4.3.2.3

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$y = \frac{- 1 (1) - 2 x - 2 K}{x + K}$

解题步骤 3.3.4.3.2.4

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- 1 (1) - (2 x) - 2 K}{x + K}$

解题步骤 3.3.4.3.2.5

从 $- 1 (1) - (2 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- 1 (1 + 2 x) - 2 K}{x + K}$

解题步骤 3.3.4.3.2.6

从 $- 2 K$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- 1 (1 + 2 x) - (2 K)}{x + K}$

解题步骤 3.3.4.3.2.7

从 $- 1 (1 + 2 x) - (2 K)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- 1 (1 + 2 x + 2 K)}{x + K}$

解题步骤 3.3.4.3.2.8

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{1 + 2 x + 2 K}{x + K}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = - \frac{1 + 2 x + K}{x + K}$

微积分学 示例

微积分学示例