微积分学示例

$\frac{d y}{d t} = \frac{8 t y}{t^{2} + 1}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

重新组合因数。

$\frac{d y}{d t} = \frac{8 t}{t^{2} + 1} y$

解题步骤 1.2

两边同时乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (\frac{8 t}{t^{2} + 1} y)$

解题步骤 1.3

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1

从 $\frac{8 t}{t^{2} + 1} y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y \frac{8 t}{t^{2} + 1})$

解题步骤 1.3.2

约去公因数。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y \frac{8 t}{t^{2} + 1})$

解题步骤 1.3.3

重写表达式。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{8 t}{t^{2} + 1}$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$\frac{1}{y} d y = \frac{8 t}{t^{2} + 1} d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{8 t}{t^{2} + 1} d t$

解题步骤 2.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{8 t}{t^{2} + 1} d t$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $8$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $8$ 移到积分外。

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 \int \frac{t}{t^{2} + 1} d t$

解题步骤 2.3.2

使 $u = t^{2} + 1$ 。然后使 $d u = 2 t d t$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = t d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.2.1

设 $u = t^{2} + 1$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1

对 $t^{2} + 1$ 求导。

$\frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

解题步骤 2.3.2.1.2

根据加法法则， $t^{2} + 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ 。

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

解题步骤 2.3.2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 t + \frac{d}{d t} [1]$

解题步骤 2.3.2.1.4

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$2 t + 0$

解题步骤 2.3.2.1.5

将 $2 t$ 和 $0$ 相加。

$2 t$

解题步骤 2.3.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.3.3

化简。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

解题步骤 2.3.3.2

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 \int \frac{1}{2 u} d u$

解题步骤 2.3.4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 2.3.5

化简。

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解题步骤 2.3.5.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $8$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{8}{2} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2.3.5.2

约去 $8$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.5.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2.3.5.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.5.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2.3.5.2.2.2

约去公因数。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2.3.5.2.2.3

重写表达式。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{1} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2.3.5.2.2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2.3.6

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\ln (| u |) + C_{2})$

解题步骤 2.3.7

化简。

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \ln (| u |) + C_{2}$

解题步骤 2.3.8

使用 $t^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \ln (| t^{2} + 1 |) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y |) = 4 \ln (| t^{2} + 1 |) + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| y |) - 4 \ln (| t^{2} + 1 |) = C$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

化简 $\ln (| y |) - 4 \ln (| t^{2} + 1 |)$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 4 \ln (| t^{2} + 1 |)$ 。

$\ln (| y |) - \ln ({| t^{2} + 1 |}^{4}) = C$

解题步骤 3.2.1.1.2

去掉 ${| t^{2} + 1 |}^{4}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$\ln (| y |) - \ln ({(t^{2} + 1)}^{4}) = C$

解题步骤 3.2.1.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}}) = C$

解题步骤 3.3

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (\frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}})} = e^{C}$

解题步骤 3.4

使用对数的定义将 $\ln (\frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}}) = C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{C} = \frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 3.5

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.5.1

将方程重写为 $\frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}} = e^{C}$ 。

$\frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}} = e^{C}$

解题步骤 3.5.2

两边同时乘以 ${(t^{2} + 1)}^{4}$ 。

$\frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}} {(t^{2} + 1)}^{4} = e^{C} {(t^{2} + 1)}^{4}$

解题步骤 3.5.3

化简左边。

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解题步骤 3.5.3.1

约去 ${(t^{2} + 1)}^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.3.1.1

约去公因数。

$\frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}} {(t^{2} + 1)}^{4} = e^{C} {(t^{2} + 1)}^{4}$

解题步骤 3.5.3.1.2

重写表达式。

$| y | = e^{C} {(t^{2} + 1)}^{4}$

解题步骤 3.5.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.5.4.1

化简 $e^{C} {(t^{2} + 1)}^{4}$ 。

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解题步骤 3.5.4.1.1

使用二项式定理。

$| y | = e^{C} ({(t^{2})}^{4} + 4 {(t^{2})}^{3} \cdot 1 + 6 {(t^{2})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

解题步骤 3.5.4.1.2

化简项。

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解题步骤 3.5.4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.4.1.2.1.1

将 ${(t^{2})}^{4}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.5.4.1.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$| y | = e^{C} (t^{2 \cdot 4} + 4 {(t^{2})}^{3} \cdot 1 + 6 {(t^{2})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

解题步骤 3.5.4.1.2.1.1.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 {(t^{2})}^{3} \cdot 1 + 6 {(t^{2})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

解题步骤 3.5.4.1.2.1.2

将 ${(t^{2})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.5.4.1.2.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{2 \cdot 3} \cdot 1 + 6 {(t^{2})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

解题步骤 3.5.4.1.2.1.2.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} \cdot 1 + 6 {(t^{2})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

解题步骤 3.5.4.1.2.1.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 {(t^{2})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

解题步骤 3.5.4.1.2.1.4

将 ${(t^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.5.4.1.2.1.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 t^{2 \cdot 2} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

解题步骤 3.5.4.1.2.1.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 t^{4} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

解题步骤 3.5.4.1.2.1.5

一的任意次幂都为一。

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 t^{4} \cdot 1 + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

解题步骤 3.5.4.1.2.1.6

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 t^{4} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

解题步骤 3.5.4.1.2.1.7

一的任意次幂都为一。

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 t^{4} + 4 t^{2} \cdot 1 + 1^{4})$

解题步骤 3.5.4.1.2.1.8

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 t^{4} + 4 t^{2} + 1^{4})$

解题步骤 3.5.4.1.2.1.9

一的任意次幂都为一。

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 t^{4} + 4 t^{2} + 1)$

解题步骤 3.5.4.1.2.2

运用分配律。

$| y | = e^{C} t^{8} + e^{C} (4 t^{6}) + e^{C} (6 t^{4}) + e^{C} (4 t^{2}) + e^{C} \cdot 1$

解题步骤 3.5.4.1.3

化简。

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解题步骤 3.5.4.1.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$| y | = e^{C} t^{8} + 4 e^{C} t^{6} + e^{C} (6 t^{4}) + e^{C} (4 t^{2}) + e^{C} \cdot 1$

解题步骤 3.5.4.1.3.2

使用乘法的交换性质重写。

$| y | = e^{C} t^{8} + 4 e^{C} t^{6} + 6 e^{C} t^{4} + e^{C} (4 t^{2}) + e^{C} \cdot 1$

解题步骤 3.5.4.1.3.3

使用乘法的交换性质重写。

$| y | = e^{C} t^{8} + 4 e^{C} t^{6} + 6 e^{C} t^{4} + 4 e^{C} t^{2} + e^{C} \cdot 1$

解题步骤 3.5.4.1.3.4

将 $e^{C}$ 乘以 $1$ 。

$| y | = e^{C} t^{8} + 4 e^{C} t^{6} + 6 e^{C} t^{4} + 4 e^{C} t^{2} + e^{C}$

解题步骤 3.5.4.1.4

将 $e^{C} t^{8} + 4 e^{C} t^{6} + 6 e^{C} t^{4} + 4 e^{C} t^{2} + e^{C}$ 中的因式重新排序。

$| y | = t^{8} e^{C} + 4 t^{6} e^{C} + 6 t^{4} e^{C} + 4 t^{2} e^{C} + e^{C}$

解题步骤 3.5.4.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y = \pm (t^{8} e^{C} + 4 t^{6} e^{C} + 6 t^{4} e^{C} + 4 t^{2} e^{C} + e^{C})$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \pm (t^{8} C + 4 t^{6} C + 6 t^{4} C + 4 t^{2} C + C)$

微积分学 示例

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