微积分学示例

$(x - 2 y - 1) d x - (x - 3) d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = x - 2 y - 1$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x - 2 y - 1]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $x - 2 y - 1$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 1.2.2

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 2 y$ 对 $y$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 1.3.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 1.4

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + 0$

解题步骤 1.5

合并项。

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解题步骤 1.5.1

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 + 0$

解题步骤 1.5.2

将 $- 2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = - (x - 3)$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x - 3)]$

解题步骤 2.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- (x - 3)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x - 3]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x - 3]$

解题步骤 2.3

根据加法法则， $x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

解题步骤 2.5

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (1 + 0)$

解题步骤 2.6

化简表达式。

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解题步骤 2.6.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 1$

解题步骤 2.6.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $- 2$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $- 1$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$- 2 = - 1$

解题步骤 3.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$- 2 = - 1$ 不是恒等式。

解题步骤 4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

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解题步骤 4.1

代入 $- 2$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{- 2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

解题步骤 4.2

代入 $- 1$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{- 2 + 1}{N}$

解题步骤 4.3

代入 $- (x - 3)$ 替换 $N$ 。

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解题步骤 4.3.1

代入 $- (x - 3)$ 替换 $N$ 。

$\frac{- 2 + 1}{- (x - 3)}$

解题步骤 4.3.2

将 $- 2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 1}{- (x - 3)}$

解题步骤 4.3.3

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{1}{x - 3}$

解题步骤 4.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x - 3} d x}$

解题步骤 5

计算积分 $e^{\int \frac{1}{x - 3} d x}$ 。

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解题步骤 5.1

使 $u = x - 3$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.1.1

设 $u = x - 3$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1.1

对 $x - 3$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

解题步骤 5.1.1.2

根据加法法则， $x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 5.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 5.1.1.4

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 5.1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 5.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{u} d u}$

解题步骤 5.2

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$μ (x, y) = e^{\ln (| u |) + C}$

解题步骤 5.3

化简。

$μ (x, y) = e^{\ln (| u |)} + C$

解题步骤 5.4

指数函数和对数函数互为反函数。

$μ (x, y) = | u | + C$

解题步骤 5.5

使用 $x - 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$μ (x, y) = | x - 3 | + C$

解题步骤 6

在 $(x - 2 y - 1) d x - (x - 3) d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $x - 3$ 。

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解题步骤 6.1

将 $x - 2 y - 1$ 乘以 $x - 3$ 。

$(x - 2 y - 1) (x - 3) d x - (x - 3) d y = 0$

解题步骤 6.2

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(x - 2 y - 1) (x - 3)$ 。

$(x \cdot x + x \cdot - 3 - 2 y x - 2 y \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3) d x - (x - 3) d y = 0$

解题步骤 6.3

化简每一项。

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解题步骤 6.3.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$(x^{2} + x \cdot - 3 - 2 y x - 2 y \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3) d x - (x - 3) d y = 0$

解题步骤 6.3.2

将 $- 3$ 移到 $x$ 的左侧。

$(x^{2} - 3 \cdot x - 2 y x - 2 y \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3) d x - (x - 3) d y = 0$

解题步骤 6.3.3

将 $- 3$ 乘以 $- 2$ 。

$(x^{2} - 3 x - 2 y x + 6 y - 1 x - 1 \cdot - 3) d x - (x - 3) d y = 0$

解题步骤 6.3.4

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$(x^{2} - 3 x - 2 y x + 6 y - x - 1 \cdot - 3) d x - (x - 3) d y = 0$

解题步骤 6.3.5

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$(x^{2} - 3 x - 2 y x + 6 y - x + 3) d x - (x - 3) d y = 0$

解题步骤 6.4

从 $- 3 x$ 中减去 $x$ 。

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x - (x - 3) d y = 0$

解题步骤 6.5

将 $- (x - 3)$ 乘以 $x - 3$ 。

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x - (x - 3) (x - 3) d y = 0$

解题步骤 6.6

运用分配律。

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x - - 3) (x - 3) d y = 0$

解题步骤 6.7

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x + 3) (x - 3) d y = 0$

解题步骤 6.8

使用 FOIL 方法展开 $(- x + 3) (x - 3)$ 。

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解题步骤 6.8.1

运用分配律。

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x (x - 3) + 3 (x - 3)) d y = 0$

解题步骤 6.8.2

运用分配律。

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x \cdot x - x \cdot - 3 + 3 (x - 3)) d y = 0$

解题步骤 6.8.3

运用分配律。

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x \cdot x - x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3) d y = 0$

解题步骤 6.9

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.9.1

化简每一项。

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解题步骤 6.9.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.9.1.1.1

移动 $x$ 。

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- (x \cdot x) - x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3) d y = 0$

解题步骤 6.9.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x^{2} - x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3) d y = 0$

解题步骤 6.9.1.2

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x^{2} + 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3) d y = 0$

解题步骤 6.9.1.3

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x^{2} + 3 x + 3 x - 9) d y = 0$

解题步骤 6.9.2

将 $3 x$ 和 $3 x$ 相加。

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x^{2} + 6 x - 9) d y = 0$

解题步骤 7

使 $f (x, y)$ 等于 $N (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int - x^{2} + 6 x - 9 d y$

解题步骤 8

对 $N (x, y) = - x^{2} + 6 x - 9$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 8.1

应用常数不变法则。

$f (x, y) = (- x^{2} + 6 x - 9) y + C$

解题步骤 9

由于 $g (x)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (x)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = (- x^{2} + 6 x - 9) y + g (x)$

解题步骤 10

设置 $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

解题步骤 11

求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。

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解题步骤 11.1

将 $f$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{d}{d x} [(- x^{2} + 6 x - 9) y + g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

解题步骤 11.2

根据加法法则， $(- x^{2} + 6 x - 9) y + g (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [(- x^{2} + 6 x - 9) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [(- x^{2} + 6 x - 9) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

解题步骤 11.3

计算 $\frac{d}{d x} [(- x^{2} + 6 x - 9) y]$ 。

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解题步骤 11.3.1

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $(- x^{2} + 6 x - 9) y$ 对 $x$ 的导数是 $y \frac{d}{d x} [- x^{2} + 6 x - 9]$ 。

$y \frac{d}{d x} [- x^{2} + 6 x - 9] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

解题步骤 11.3.2

根据加法法则， $- x^{2} + 6 x - 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ 。

$y (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

解题步骤 11.3.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$y (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

解题步骤 11.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$y (- (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

解题步骤 11.3.5

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$y (- (2 x) + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

解题步骤 11.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$y (- (2 x) + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

解题步骤 11.3.7

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$y (- (2 x) + 6 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

解题步骤 11.3.8

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$y (- 2 x + 6 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

解题步骤 11.3.9

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$y (- 2 x + 6 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

解题步骤 11.3.10

将 $- 2 x + 6$ 和 $0$ 相加。

$y (- 2 x + 6) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

解题步骤 11.4

使用函数法则进行微分，即 $g (x)$ 的导数为 $\frac{d g}{d x}$ 。

$y (- 2 x + 6) + \frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

解题步骤 11.5

化简。

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解题步骤 11.5.1

运用分配律。

$y (- 2 x) + y \cdot 6 + \frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

解题步骤 11.5.2

将 $6$ 移到 $y$ 的左侧。

$y (- 2 x) + 6 y + \frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

解题步骤 11.5.3

重新排序项。

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + 6 y = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

解题步骤 12

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 12.1

将所有不包含 $\frac{d g}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 12.1.1

在等式两边都加上 $2 x y$ 。

$\frac{d g}{d x} + 6 y = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3 + 2 x y$

解题步骤 12.1.2

从等式两边同时减去 $6 y$ 。

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3 + 2 x y - 6 y$

解题步骤 12.1.3

合并 $x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3 + 2 x y - 6 y$ 中相反的项。

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解题步骤 12.1.3.1

按照 $- 2 y x$ 和 $2 x y$ 重新排列因数。

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x - 2 x y + 6 y + 3 + 2 x y - 6 y$

解题步骤 12.1.3.2

将 $- 2 x y$ 和 $2 x y$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x + 6 y + 3 + 0 - 6 y$

解题步骤 12.1.3.3

将 $x^{2} - 4 x + 6 y + 3$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x + 6 y + 3 - 6 y$

解题步骤 12.1.3.4

从 $6 y$ 中减去 $6 y$ 。

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x + 0 + 3$

解题步骤 12.1.3.5

将 $x^{2} - 4 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x + 3$

解题步骤 13

求 $x^{2} - 4 x + 3$ 的不定积分，以求出 $g (x)$ 。

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解题步骤 13.1

对 $\frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x + 3$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{2} - 4 x + 3 d x$

解题步骤 13.2

计算 $\int \frac{d g}{d x} d x$ 。

$g (x) = \int x^{2} - 4 x + 3 d x$

解题步骤 13.3

将单个积分拆分为多个积分。

$g (x) = \int x^{2} d x + \int - 4 x d x + \int 3 d x$

解题步骤 13.4

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 4 x d x + \int 3 d x$

解题步骤 13.5

由于 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 4$ 移到积分外。

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C - 4 \int x d x + \int 3 d x$

解题步骤 13.6

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 3 d x$

解题步骤 13.7

应用常数不变法则。

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 3 x + C$

解题步骤 13.8

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C - 4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 3 x + C$

解题步骤 13.9

化简。

$g (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 3 x + C$

解题步骤 13.10

重新排序项。

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + C$

解题步骤 14

在 $f (x, y) = (- x^{2} + 6 x - 9) y + g (x)$ 中代入 $g (x)$ 。

$f (x, y) = (- x^{2} + 6 x - 9) y + \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + C$

解题步骤 15

化简每一项。

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解题步骤 15.1

运用分配律。

$f (x, y) = - x^{2} y + 6 x y - 9 y + \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + C$

解题步骤 15.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$f (x, y) = - x^{2} y + 6 x y - 9 y + \frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 3 x + C$

微积分学 示例

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