微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = 4 y^{3} \cos^{2} (x)$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{y^{3}}$ 。

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (4 y^{3} \cos^{2} (x))$

解题步骤 1.2

化简。

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解题步骤 1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{1}{y^{3}} (y^{3} \cos^{2} (x))$

解题步骤 1.2.2

组合 $4$ 和 $\frac{1}{y^{3}}$ 。

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{y^{3}} (y^{3} \cos^{2} (x))$

解题步骤 1.2.3

约去 $y^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.1

从 $y^{3} \cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $y^{3}$ 。

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{y^{3}} (y^{3} (\cos^{2} (x)))$

解题步骤 1.2.3.2

约去公因数。

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{y^{3}} (y^{3} \cos^{2} (x))$

解题步骤 1.2.3.3

重写表达式。

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = 4 \cos^{2} (x)$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{y^{3}} d y = 4 \cos^{2} (x) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y^{3}} d y = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.2.1.1

通过将 $y^{3}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(y^{3})}^{- 1} d y = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

解题步骤 2.2.1.2

将 ${(y^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int y^{3 \cdot - 1} d y = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

解题步骤 2.2.1.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\int y^{- 3} d y = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

解题步骤 2.2.2

根据幂法则， $y^{- 3}$ 对 $y$ 的积分是 $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ 。

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

解题步骤 2.2.3

化简答案。

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解题步骤 2.2.3.1

将 $- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1}$ 重写为 $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1}$ 。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1} = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

解题步骤 2.2.3.2

化简。

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解题步骤 2.2.3.2.1

将 $\frac{1}{y^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + C_{1} = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

解题步骤 2.2.3.2.2

将 $2$ 移到 $y^{2}$ 的左侧。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 4 \int \cos^{2} (x) d x$

解题步骤 2.3.2

使用半角公式将 $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ 重新书写为 $\cos^{2} (x)$ 的形式。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 4 \int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

解题步骤 2.3.3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x)$

解题步骤 2.3.4

化简。

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解题步骤 2.3.4.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{4}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

解题步骤 2.3.4.2

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

解题步骤 2.3.4.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.4.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int 1 + \cos (2 x) d x$

解题步骤 2.3.4.2.2.2

约去公因数。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int 1 + \cos (2 x) d x$

解题步骤 2.3.4.2.2.3

重写表达式。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{2}{1} \int 1 + \cos (2 x) d x$

解题步骤 2.3.4.2.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 \int 1 + \cos (2 x) d x$

解题步骤 2.3.5

将单个积分拆分为多个积分。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (\int d x + \int \cos (2 x) d x)$

解题步骤 2.3.6

应用常数不变法则。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + C_{2} + \int \cos (2 x) d x)$

解题步骤 2.3.7

使 $u = 2 x$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.7.1

设 $u = 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.7.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.3.7.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.7.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 2.3.7.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 2.3.7.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + C_{2} + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

解题步骤 2.3.8

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + C_{2} + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

解题步骤 2.3.9

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + C_{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

解题步骤 2.3.10

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + C_{2} + \frac{1}{2} (\sin (u) + C_{3}))$

解题步骤 2.3.11

化简。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + \frac{1}{2} \sin (u)) + C_{4}$

解题步骤 2.3.12

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C_{4}$

解题步骤 2.3.13

化简。

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解题步骤 2.3.13.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sin (2 x)$ 。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C_{4}$

解题步骤 2.3.13.2

运用分配律。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 x + 2 \frac{\sin (2 x)}{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.13.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.13.3.1

约去公因数。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 x + 2 \frac{\sin (2 x)}{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.13.3.2

重写表达式。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 x + \sin (2 x) + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$- \frac{1}{2 y^{2}} = 2 x + \sin (2 x) + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$2 y^{2}, 1, 1, 1$

解题步骤 3.1.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$2 y^{2}$

解题步骤 3.2

将 $- \frac{1}{2 y^{2}} = 2 x + \sin (2 x) + K$ 中的每一项乘以 $2 y^{2}$ 以消去分数。

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解题步骤 3.2.1

将 $- \frac{1}{2 y^{2}} = 2 x + \sin (2 x) + K$ 中的每一项乘以 $2 y^{2}$ 。

$- \frac{1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = 2 x (2 y^{2}) + \sin (2 x) (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

约去 $2 y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.1

将 $- \frac{1}{2 y^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = 2 x (2 y^{2}) + \sin (2 x) (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

解题步骤 3.2.2.1.2

约去公因数。

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = 2 x (2 y^{2}) + \sin (2 x) (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

解题步骤 3.2.2.1.3

重写表达式。

$- 1 = 2 x (2 y^{2}) + \sin (2 x) (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

解题步骤 3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$- 1 = 2 \cdot 2 x y^{2} + \sin (2 x) (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

解题步骤 3.2.3.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- 1 = 4 x y^{2} + \sin (2 x) (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

解题步骤 3.2.3.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$- 1 = 4 x y^{2} + 2 \sin (2 x) y^{2} + K (2 y^{2})$

解题步骤 3.2.3.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$- 1 = 4 x y^{2} + 2 \sin (2 x) y^{2} + 2 K y^{2}$

解题步骤 3.2.3.2

将 $4 x y^{2} + 2 \sin (2 x) y^{2} + 2 K y^{2}$ 中的因式重新排序。

$- 1 = 4 x y^{2} + 2 y^{2} \sin (2 x) + 2 K y^{2}$

解题步骤 3.3

求解方程。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $4 x y^{2} + 2 y^{2} \sin (2 x) + 2 K y^{2} = - 1$ 。

$4 x y^{2} + 2 y^{2} \sin (2 x) + 2 K y^{2} = - 1$

解题步骤 3.3.2

从 $4 x y^{2} + 2 y^{2} \sin (2 x) + 2 K y^{2}$ 中分解出因数 $2 y^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

从 $4 x y^{2}$ 中分解出因数 $2 y^{2}$ 。

$2 y^{2} (2 x) + 2 y^{2} \sin (2 x) + 2 K y^{2} = - 1$

解题步骤 3.3.2.2

从 $2 y^{2} \sin (2 x)$ 中分解出因数 $2 y^{2}$ 。

$2 y^{2} (2 x) + 2 y^{2} \sin (2 x) + 2 K y^{2} = - 1$

解题步骤 3.3.2.3

从 $2 K y^{2}$ 中分解出因数 $2 y^{2}$ 。

$2 y^{2} (2 x) + 2 y^{2} \sin (2 x) + 2 y^{2} K = - 1$

解题步骤 3.3.2.4

从 $2 y^{2} (2 x) + 2 y^{2} \sin (2 x)$ 中分解出因数 $2 y^{2}$ 。

$2 y^{2} (2 x + \sin (2 x)) + 2 y^{2} K = - 1$

解题步骤 3.3.2.5

从 $2 y^{2} (2 x + \sin (2 x)) + 2 y^{2} K$ 中分解出因数 $2 y^{2}$ 。

$2 y^{2} (2 x + \sin (2 x) + K) = - 1$

解题步骤 3.3.3

将 $2 y^{2} (2 x + \sin (2 x) + K) = - 1$ 中的每一项除以 $2 (2 x + \sin (2 x) + K)$ 并化简。

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解题步骤 3.3.3.1

将 $2 y^{2} (2 x + \sin (2 x) + K) = - 1$ 中的每一项都除以 $2 (2 x + \sin (2 x) + K)$ 。

$\frac{2 y^{2} (2 x + \sin (2 x) + K)}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)} = \frac{- 1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}$

解题步骤 3.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y^{2} (2 x + \sin (2 x) + K)}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)} = \frac{- 1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}$

解题步骤 3.3.3.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y^{2} (2 x + \sin (2 x) + K)}{2 x + \sin (2 x) + K} = \frac{- 1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}$

解题步骤 3.3.3.2.2

约去 $2 x + \sin (2 x) + K$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y^{2} (2 x + \sin (2 x) + K)}{2 x + \sin (2 x) + K} = \frac{- 1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}$

解题步骤 3.3.3.2.2.2

用 $y^{2}$ 除以 $1$ 。

$y^{2} = \frac{- 1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}$

解题步骤 3.3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.3.1

将负号移到分数的前面。

$y^{2} = - \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}$

解题步骤 3.3.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}}$

解题步骤 3.3.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.3.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}}$

解题步骤 3.3.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。