微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y)}{(1 - x)}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{1 - y}$ 。

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - y} \cdot \frac{1 - y}{1 - x}$

解题步骤 1.2

约去 $1 - y$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - y} \cdot \frac{1 - y}{1 - x}$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - x}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{1 - y} d y = \frac{1}{1 - x} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{1 - y} d y = \int \frac{1}{1 - x} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

使 $u_{1} = 1 - y$ 。然后使 $d u_{1} = - d y$ ，以便 $- d u_{1} = d y$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.1.1

设 $u_{1} = 1 - y$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1

重写。

$\frac{- 1}{1}$

解题步骤 2.2.1.1.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 2.2.1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \frac{- 1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

解题步骤 2.2.2

将分数分解成多个分数。

$\int - \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

解题步骤 2.2.3

由于 $- 1$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

解题步骤 2.2.4

$\frac{1}{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\ln (| u_{1} |)$ 。

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{1}{1 - x} d x$

解题步骤 2.2.5

化简。

$- \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

解题步骤 2.2.6

使用 $1 - y$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

使 $u_{2} = 1 - x$ 。然后使 $d u_{2} = - d x$ ，以便 $- d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.1.1

设 $u_{2} = 1 - x$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.1

重写。

$\frac{- 1}{1}$

解题步骤 2.3.1.1.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 2.3.1.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.2

将分数分解成多个分数。

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.3

由于 $- 1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.4

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

解题步骤 2.3.5

化简。

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

解题步骤 2.3.6

使用 $1 - x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = - \ln (| 1 - x |) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- \ln (| 1 - y |) = - \ln (| 1 - x |) + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$- \ln (| 1 - y |) + \ln (| 1 - x |) = C$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $\ln (| 1 - x |)$ 。

$- \ln (| 1 - y |) = C - \ln (| 1 - x |)$

解题步骤 3.3

将 $- \ln (| 1 - y |) = C - \ln (| 1 - x |)$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.3.1

将 $- \ln (| 1 - y |) = C - \ln (| 1 - x |)$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \ln (| 1 - y |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| 1 - x |)}{- 1}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\ln (| 1 - y |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| 1 - x |)}{- 1}$

解题步骤 3.3.2.2

用 $\ln (| 1 - y |)$ 除以 $1$ 。

$\ln (| 1 - y |) = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| 1 - x |)}{- 1}$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.3.1.1

移动 $\frac{C}{- 1}$ 中分母的负号。

$\ln (| 1 - y |) = - 1 \cdot C + \frac{- \ln (| 1 - x |)}{- 1}$

解题步骤 3.3.3.1.2

将 $- 1 \cdot C$ 重写为 $- C$ 。

$\ln (| 1 - y |) = - C + \frac{- \ln (| 1 - x |)}{- 1}$

解题步骤 3.3.3.1.3

将两个负数相除得到一个正数。

$\ln (| 1 - y |) = - C + \frac{\ln (| 1 - x |)}{1}$

解题步骤 3.3.3.1.4

用 $\ln (| 1 - x |)$ 除以 $1$ 。

$\ln (| 1 - y |) = - C + \ln (| 1 - x |)$

解题步骤 3.4

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| 1 - y |) - \ln (| 1 - x |) = - C$

解题步骤 3.5

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{| 1 - y |}{| 1 - x |}) = - C$

解题步骤 3.6

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (\frac{| 1 - y |}{| 1 - x |})} = e^{- C}$

解题步骤 3.7

使用对数的定义将 $\ln (\frac{| 1 - y |}{| 1 - x |}) = - C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{- C} = \frac{| 1 - y |}{| 1 - x |}$

解题步骤 3.8

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.8.1

将方程重写为 $\frac{| 1 - y |}{| 1 - x |} = e^{- C}$ 。

$\frac{| 1 - y |}{| 1 - x |} = e^{- C}$

解题步骤 3.8.2

两边同时乘以 $| 1 - x |$ 。

$\frac{| 1 - y |}{| 1 - x |} | 1 - x | = e^{- C} | 1 - x |$

解题步骤 3.8.3

化简左边。

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解题步骤 3.8.3.1

约去 $| 1 - x |$ 的公因数。

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解题步骤 3.8.3.1.1

约去公因数。

$\frac{| 1 - y |}{| 1 - x |} | 1 - x | = e^{- C} | 1 - x |$

解题步骤 3.8.3.1.2

重写表达式。

$| 1 - y | = e^{- C} | 1 - x |$

解题步骤 3.8.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.8.4.1

将 $e^{- C} | 1 - x |$ 中的因式重新排序。

$| 1 - y | = | 1 - x | e^{- C}$

解题步骤 3.8.4.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$1 - y = \pm | 1 - x | e^{- C}$

解题步骤 3.8.4.3

将 $\pm | 1 - x | e^{- C}$ 中的因式重新排序。

$1 - y = \pm e^{- C} | 1 - x |$

解题步骤 3.8.4.4

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- y = \pm e^{- C} | 1 - x | - 1$

解题步骤 3.8.4.5

将 $- y = \pm e^{- C} | 1 - x | - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.8.4.5.1

将 $- y = \pm e^{- C} | 1 - x | - 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{- C} | 1 - x |}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 3.8.4.5.2

化简左边。

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解题步骤 3.8.4.5.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{- C} | 1 - x |}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 3.8.4.5.2.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\pm e^{- C} | 1 - x |}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 3.8.4.5.3

化简右边。

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解题步骤 3.8.4.5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.8.4.5.3.1.1

移动 $\frac{\pm e^{- C} | 1 - x |}{- 1}$ 中分母的负号。

$y = - 1 \cdot (\pm e^{- C} | 1 - x |) + \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 3.8.4.5.3.1.2

将 $- 1 \cdot (\pm e^{- C} | 1 - x |)$ 重写为 $- (\pm e^{- C} | 1 - x |)$ 。

$y = - (\pm e^{- C} | 1 - x |) + \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 3.8.4.5.3.1.3

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$y = - (\pm e^{- C} | 1 - x |) + 1$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 4.1

化简积分常数。

$y = - (\pm C | 1 - x |) + 1$

解题步骤 4.2

用加号或减号合并常数。

$y = - (C | 1 - x |) + 1$

微积分学 示例

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