微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2} e^{2 y}}$ , $y (- 2) = 0$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

重新组合因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2}} \cdot \frac{1}{e^{2 y}}$

解题步骤 1.2

两边同时乘以 $e^{2 y}$ 。

$e^{2 y} \frac{d y}{d x} = e^{2 y} (\frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2}} \cdot \frac{1}{e^{2 y}})$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

合并。

$e^{2 y} \frac{d y}{d x} = e^{2 y} \frac{12 \cdot 1}{{(2 + 3 x)}^{2} e^{2 y}}$

解题步骤 1.3.2

约去 $e^{2 y}$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.2.1

从 ${(2 + 3 x)}^{2} e^{2 y}$ 中分解出因数 $e^{2 y}$ 。

$e^{2 y} \frac{d y}{d x} = e^{2 y} \frac{12 \cdot 1}{e^{2 y} {(2 + 3 x)}^{2}}$

解题步骤 1.3.2.2

约去公因数。

$e^{2 y} \frac{d y}{d x} = e^{2 y} \frac{12 \cdot 1}{e^{2 y} {(2 + 3 x)}^{2}}$

解题步骤 1.3.2.3

重写表达式。

$e^{2 y} \frac{d y}{d x} = \frac{12 \cdot 1}{{(2 + 3 x)}^{2}}$

解题步骤 1.3.3

将 $12$ 乘以 $1$ 。

$e^{2 y} \frac{d y}{d x} = \frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2}}$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$e^{2 y} d y = \frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2}} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int e^{2 y} d y = \int \frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2}} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

使 $u_{1} = 2 y$ 。然后使 $d u_{1} = 2 d y$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.1.1

设 $u_{1} = 2 y$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1

对 $2 y$ 求导。

$\frac{d}{d y} [2 y]$

解题步骤 2.2.1.1.2

因为 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 y$ 对 $y$ 的导数是 $2 \frac{d}{d y} [y]$ 。

$2 \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.2.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 2.2.1.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 2.2.1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2}} d x$

解题步骤 2.2.2

组合 $e^{u_{1}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} = \int \frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2}} d x$

解题步骤 2.2.3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2}} d x$

解题步骤 2.2.4

$e^{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $e^{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{1}) = \int \frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2}} d x$

解题步骤 2.2.5

化简。

$\frac{1}{2} e^{u_{1}} + C_{1} = \int \frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2}} d x$

解题步骤 2.2.6

使用 $2 y$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \int \frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2}} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $12$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{{(2 + 3 x)}^{2}} d x$

解题步骤 2.3.2

使 $u_{2} = 2 + 3 x$ 。然后使 $d u_{2} = 3 d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.2.1

设 $u_{2} = 2 + 3 x$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1

对 $2 + 3 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 + 3 x]$

解题步骤 2.3.2.1.2

求微分。

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解题步骤 2.3.2.1.2.1

根据加法法则， $2 + 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 2.3.2.1.2.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 2.3.2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x]$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 + 3 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 3 \cdot 1$

解题步骤 2.3.2.1.3.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$0 + 3$

解题步骤 2.3.2.1.4

将 $0$ 和 $3$ 相加。

$3$

解题步骤 2.3.2.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} \cdot \frac{1}{3} d u_{2}$

解题步骤 2.3.3

化简。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $\frac{1}{{u_{2}}^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2} \cdot 3} d u_{2}$

解题步骤 2.3.3.2

将 $3$ 移到 ${u_{2}}^{2}$ 的左侧。

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{3 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.4

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 12 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

解题步骤 2.3.5

化简表达式。

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解题步骤 2.3.5.1

化简。

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解题步骤 2.3.5.1.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $12$ 。

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \frac{12}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.5.1.2

约去 $12$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.5.1.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.5.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.5.1.2.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 (1)} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.5.1.2.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.5.1.2.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \frac{4}{1} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.5.1.2.2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 4 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.5.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.3.5.2.1

通过将 ${u_{2}}^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 4 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

解题步骤 2.3.5.2.2

将 ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.5.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 4 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

解题步骤 2.3.5.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 4 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

解题步骤 2.3.6

根据幂法则， ${u_{2}}^{- 2}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $- {u_{2}}^{- 1}$ 。

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 4 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$

解题步骤 2.3.7

化简。

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解题步骤 2.3.7.1

将 $4 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$ 重写为 $4 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$ 。

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 4 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$

解题步骤 2.3.7.2

化简。

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解题步骤 2.3.7.2.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = - 4 \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.7.2.2

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{u_{2}}$ 。

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \frac{- 4}{u_{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.7.2.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = - \frac{4}{u_{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.8

使用 $2 + 3 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = - \frac{4}{2 + 3 x} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{2} e^{2 y} = - \frac{4}{2 + 3 x} + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 (\frac{1}{2} e^{2 y}) = 2 (- \frac{4}{2 + 3 x} + K)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

化简 $2 (\frac{1}{2} e^{2 y})$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{2 y}$ 。

$2 \frac{e^{2 y}}{2} = 2 (- \frac{4}{2 + 3 x} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$2 \frac{e^{2 y}}{2} = 2 (- \frac{4}{2 + 3 x} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$e^{2 y} = 2 (- \frac{4}{2 + 3 x} + K)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $2 (- \frac{4}{2 + 3 x} + K)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

要将 $K$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 + 3 x}{2 + 3 x}$ 。

$e^{2 y} = 2 (- \frac{4}{2 + 3 x} + \frac{K (2 + 3 x)}{2 + 3 x})$

解题步骤 3.2.2.1.2

在公分母上合并分子。

$e^{2 y} = 2 \frac{- 4 + K (2 + 3 x)}{2 + 3 x}$

解题步骤 3.2.2.1.3

化简分子。

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解题步骤 3.2.2.1.3.1

运用分配律。

$e^{2 y} = 2 \frac{- 4 + K \cdot 2 + K (3 x)}{2 + 3 x}$

解题步骤 3.2.2.1.3.2

将 $2$ 移到 $K$ 的左侧。

$e^{2 y} = 2 \frac{- 4 + 2 \cdot K + K (3 x)}{2 + 3 x}$

解题步骤 3.2.2.1.3.3

使用乘法的交换性质重写。

$e^{2 y} = 2 \frac{- 4 + 2 K + 3 K x}{2 + 3 x}$

解题步骤 3.2.2.1.4

化简项。

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解题步骤 3.2.2.1.4.1

组合 $2$ 和 $\frac{- 4 + 2 K + 3 K x}{2 + 3 x}$ 。

$e^{2 y} = \frac{2 (- 4 + 2 K + 3 K x)}{2 + 3 x}$

解题步骤 3.2.2.1.4.2

将 $- 4$ 重写为 $- 1 (4)$ 。

$e^{2 y} = \frac{2 (- 1 (4) + 2 K + 3 K x)}{2 + 3 x}$

解题步骤 3.2.2.1.4.3

从 $2 K$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$e^{2 y} = \frac{2 (- 1 (4) - (- 2 K) + 3 K x)}{2 + 3 x}$

解题步骤 3.2.2.1.4.4

从 $- 1 (4) - (- 2 K)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$e^{2 y} = \frac{2 (- 1 (4 - 2 K) + 3 K x)}{2 + 3 x}$

解题步骤 3.2.2.1.4.5

从 $3 K x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$e^{2 y} = \frac{2 (- 1 (4 - 2 K) - (- 3 K x))}{2 + 3 x}$

解题步骤 3.2.2.1.4.6

从 $- 1 (4 - 2 K) - (- 3 K x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$e^{2 y} = \frac{2 (- 1 (4 - 2 K - 3 K x))}{2 + 3 x}$

解题步骤 3.2.2.1.4.7

将负号移到分数的前面。

$e^{2 y} = - \frac{2 (4 - 2 K - 3 K x)}{2 + 3 x}$

解题步骤 3.3

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{2 y}) = \ln (- \frac{2 (4 - 2 K - 3 K x)}{2 + 3 x})$

解题步骤 3.4

展开左边。

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解题步骤 3.4.1

通过将 $2 y$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{2 y})$ 。

$2 y \ln (e) = \ln (- \frac{2 (4 - 2 K - 3 K x)}{2 + 3 x})$

解题步骤 3.4.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$2 y \cdot 1 = \ln (- \frac{2 (4 - 2 K - 3 K x)}{2 + 3 x})$

解题步骤 3.4.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 y = \ln (- \frac{2 (4 - 2 K - 3 K x)}{2 + 3 x})$

解题步骤 3.5

将 $2 y = \ln (- \frac{2 (4 - 2 K - 3 K x)}{2 + 3 x})$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.5.1

将 $2 y = \ln (- \frac{2 (4 - 2 K - 3 K x)}{2 + 3 x})$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (- \frac{2 (4 - 2 K - 3 K x)}{2 + 3 x})}{2}$

解题步骤 3.5.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (- \frac{2 (4 - 2 K - 3 K x)}{2 + 3 x})}{2}$

解题步骤 3.5.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\ln (- \frac{2 (4 - 2 K - 3 K x)}{2 + 3 x})}{2}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \frac{\ln (- \frac{2 (K + K x)}{2 + 3 x})}{2}$

解题步骤 5

使用初始条件，通过将 $- 2$ 代入 $x$ ，将 $0$ 代入 $y$ ，在 $y = \frac{\ln (- \frac{2 (K + K x)}{2 + 3 x})}{2}$ 中求 $K$ 的值。

$0 = \frac{\ln (- \frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2})}{2}$

解题步骤 6

求解 $K$ 。

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解题步骤 6.1

将分子设为等于零。

$\ln (- \frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2}) = 0$

解题步骤 6.2

求解 $K$ 的方程。

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解题步骤 6.2.1

要求解 $K$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (- \frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2})} = e^{0}$

解题步骤 6.2.2

使用对数的定义将 $\ln (- \frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2}) = 0$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{0} = - \frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2}$

解题步骤 6.2.3

求解 $K$ 。

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解题步骤 6.2.3.1

将方程重写为 $- \frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2} = e^{0}$ 。

$- \frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2} = e^{0}$

解题步骤 6.2.3.2

将 $- \frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2} = e^{0}$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 6.2.3.2.1

将 $- \frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2} = e^{0}$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2}}{- 1} = \frac{e^{0}}{- 1}$

解题步骤 6.2.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.3.2.2.1

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 6.2.3.2.2.1.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2}}{1} = \frac{e^{0}}{- 1}$

解题步骤 6.2.3.2.2.1.2

用 $\frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2}$ 除以 $1$ 。

$\frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2} = \frac{e^{0}}{- 1}$

解题步骤 6.2.3.2.2.1.3

约去 $2$ 和 $2 + 3 \cdot - 2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.3.2.2.1.3.1

重新排序项。

$\frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 - 2 \cdot 3} = \frac{e^{0}}{- 1}$

解题步骤 6.2.3.2.2.1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.3.2.2.1.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 (1) - 2 \cdot 3} = \frac{e^{0}}{- 1}$

解题步骤 6.2.3.2.2.1.3.2.2

从 $- 2 \cdot 3$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 (1) + 2 (- 1 \cdot 3)} = \frac{e^{0}}{- 1}$

解题步骤 6.2.3.2.2.1.3.2.3

从 $2 (1) + 2 (- 1 \cdot 3)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 (1 - 1 \cdot 3)} = \frac{e^{0}}{- 1}$

解题步骤 6.2.3.2.2.1.3.2.4

约去公因数。

$\frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 (1 - 1 \cdot 3)} = \frac{e^{0}}{- 1}$

解题步骤 6.2.3.2.2.1.3.2.5

重写表达式。

$\frac{K + K \cdot - 2}{1 - 1 \cdot 3} = \frac{e^{0}}{- 1}$

解题步骤 6.2.3.2.2.2

化简分子。

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解题步骤 6.2.3.2.2.2.1

将 $- 2$ 移到 $K$ 的左侧。

$\frac{K - 2 \cdot K}{1 - 1 \cdot 3} = \frac{e^{0}}{- 1}$

解题步骤 6.2.3.2.2.2.2

从 $K$ 中减去 $2 K$ 。

$\frac{- K}{1 - 1 \cdot 3} = \frac{e^{0}}{- 1}$

解题步骤 6.2.3.2.2.3

化简分母。

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解题步骤 6.2.3.2.2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- K}{1 - 3} = \frac{e^{0}}{- 1}$

解题步骤 6.2.3.2.2.3.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{- K}{- 2} = \frac{e^{0}}{- 1}$

解题步骤 6.2.3.2.2.4

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{K}{2} = \frac{e^{0}}{- 1}$

解题步骤 6.2.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.2.3.2.3.1

移动 $\frac{e^{0}}{- 1}$ 中分母的负号。

$\frac{K}{2} = - 1 \cdot e^{0}$

解题步骤 6.2.3.2.3.2

将 $- 1 \cdot e^{0}$ 重写为 $- e^{0}$ 。

$\frac{K}{2} = - e^{0}$

解题步骤 6.2.3.2.3.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{K}{2} = - 1 \cdot 1$

解题步骤 6.2.3.2.3.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{K}{2} = - 1$

解题步骤 6.2.3.3

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{K}{2} = 2 \cdot - 1$

解题步骤 6.2.3.4

化简方程的两边。

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解题步骤 6.2.3.4.1

化简左边。

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解题步骤 6.2.3.4.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.3.4.1.1.1

约去公因数。

$2 \frac{K}{2} = 2 \cdot - 1$

解题步骤 6.2.3.4.1.1.2

重写表达式。

$K = 2 \cdot - 1$

解题步骤 6.2.3.4.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.3.4.2.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$K = - 2$

解题步骤 7

代入 $- 2$ 替换 $y = \frac{\ln (- \frac{2 (K + K x)}{2 + 3 x})}{2}$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 7.1

代入 $- 2$ 替换 $K$ 。

$y = \frac{\ln (- \frac{2 (- 2 + K x)}{2 + 3 x})}{2}$

解题步骤 7.2

将 $\frac{\ln (- \frac{2 (- 2 + K x)}{2 + 3 x})}{2}$ 重写为 $\frac{1}{2} \ln (- \frac{2 (- 2 + K x)}{2 + 3 x})$ 。

$y = \frac{1}{2} \ln (- \frac{2 (- 2 + K x)}{2 + 3 x})$

解题步骤 7.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{2} \ln (- \frac{2 (- 2 + K x)}{2 + 3 x})$ 。

$y = \ln ({(- \frac{2 (- 2 + K x)}{2 + 3 x})}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 7.4

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 7.4.1

对 $- \frac{2 (- 2 + K x)}{2 + 3 x}$ 运用乘积法则。

$y = \ln ({(- 1)}^{\frac{1}{2}} {(\frac{2 (- 2 + K x)}{2 + 3 x})}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 7.4.2

对 $\frac{2 (- 2 + K x)}{2 + 3 x}$ 运用乘积法则。

$y = \ln ({(- 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{{(2 (- 2 + K x))}^{\frac{1}{2}}}{{(2 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 7.4.3

对 $2 (- 2 + K x)$ 运用乘积法则。

$y = \ln ({(- 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{2^{\frac{1}{2}} {(- 2 + K x)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 7.5

将 ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{{(- 1)}^{1}}$ 。

$y = \ln (\sqrt{{(- 1)}^{1}} \frac{2^{\frac{1}{2}} {(- 2 + K x)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 7.6

计算指数。

$y = \ln (\sqrt{- 1} \frac{2^{\frac{1}{2}} {(- 2 + K x)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 7.7

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$y = \ln (i \frac{2^{\frac{1}{2}} {(- 2 + K x)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 7.8

组合 $i$ 和 $\frac{2^{\frac{1}{2}} {(- 2 + K x)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$y = \ln (\frac{i \cdot 2^{\frac{1}{2}} {(- 2 + K x)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}})$

微积分学 示例

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