微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x^{4}}{4 e^{y}}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $e^{y}$ 。

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{5 x^{4}}{4 e^{y}}$

解题步骤 1.2

约去 $e^{y}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $4 e^{y}$ 中分解出因数 $e^{y}$ 。

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{5 x^{4}}{e^{y} \cdot 4}$

解题步骤 1.2.2

约去公因数。

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{5 x^{4}}{e^{y} \cdot 4}$

解题步骤 1.2.3

重写表达式。

$e^{y} \frac{d y}{d x} = \frac{5 x^{4}}{4}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$e^{y} d y = \frac{5 x^{4}}{4} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int e^{y} d y = \int \frac{5 x^{4}}{4} d x$

解题步骤 2.2

$e^{y}$ 对 $y$ 的积分为 $e^{y}$ 。

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{5 x^{4}}{4} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $\frac{5}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{5}{4}$ 移到积分外。

$e^{y} + C_{1} = \frac{5}{4} \int x^{4} d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$e^{y} + C_{1} = \frac{5}{4} (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2})$

解题步骤 2.3.3

化简答案。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $\frac{5}{4} (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2})$ 重写为 $\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{5} x^{5} + C_{2}$ 。

$e^{y} + C_{1} = \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{5} x^{5} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2

化简。

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解题步骤 2.3.3.2.1

将 $\frac{5}{4}$ 乘以 $\frac{1}{5}$ 。

$e^{y} + C_{1} = \frac{5}{4 \cdot 5} x^{5} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$e^{y} + C_{1} = \frac{5}{20} x^{5} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.3

约去 $5$ 和 $20$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.3.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$e^{y} + C_{1} = \frac{5 (1)}{20} x^{5} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.3.2.1

从 $20$ 中分解出因数 $5$ 。

$e^{y} + C_{1} = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 4} x^{5} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.3.2.2

约去公因数。

$e^{y} + C_{1} = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 4} x^{5} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.3.2.3

重写表达式。

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{4} x^{5} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$e^{y} = \frac{1}{4} x^{5} + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x^{5}}{4} + K)$

解题步骤 3.2

展开左边。

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解题步骤 3.2.1

通过将 $y$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{y})$ 。

$y \ln (e) = \ln (\frac{x^{5}}{4} + K)$

解题步骤 3.2.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x^{5}}{4} + K)$

解题步骤 3.2.3

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$y = \ln (\frac{x^{5}}{4} + K)$

微积分学 示例

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