微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = 7 x \sqrt{2 y + 20}$ , $y (0) = 5$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} (7 x \sqrt{2 y + 20})$

解题步骤 1.2

化简。

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解题步骤 1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} (x \sqrt{2 y + 20})$

解题步骤 1.2.2

从 $2 y + 20$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

从 $2 y$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{1}{\sqrt{2 (y) + 20}} (x \sqrt{2 y + 20})$

解题步骤 1.2.2.2

从 $20$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{1}{\sqrt{2 y + 2 \cdot 10}} (x \sqrt{2 y + 20})$

解题步骤 1.2.2.3

从 $2 y + 2 \cdot 10$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{1}{\sqrt{2 (y + 10)}} (x \sqrt{2 y + 20})$

解题步骤 1.2.3

将 $\frac{1}{\sqrt{2 (y + 10)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{\sqrt{2 (y + 10)}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 (\frac{1}{\sqrt{2 (y + 10)}} \cdot \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{\sqrt{2 (y + 10)}}) (x \sqrt{2 y + 20})$

解题步骤 1.2.4

合并和化简分母。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $\frac{1}{\sqrt{2 (y + 10)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{\sqrt{2 (y + 10)}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{\sqrt{2 (y + 10)} \sqrt{2 (y + 10)}} (x \sqrt{2 y + 20})$

解题步骤 1.2.4.2

对 $\sqrt{2 (y + 10)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{\sqrt{2 (y + 10)}}^{1} \sqrt{2 (y + 10)}} (x \sqrt{2 y + 20})$

解题步骤 1.2.4.3

对 $\sqrt{2 (y + 10)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{\sqrt{2 (y + 10)}}^{1} {\sqrt{2 (y + 10)}}^{1}} (x \sqrt{2 y + 20})$

解题步骤 1.2.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{\sqrt{2 (y + 10)}}^{1 + 1}} (x \sqrt{2 y + 20})$

解题步骤 1.2.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{\sqrt{2 (y + 10)}}^{2}} (x \sqrt{2 y + 20})$

解题步骤 1.2.4.6

将 ${\sqrt{2 (y + 10)}}^{2}$ 重写为 $2 (y + 10)$ 。

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解题步骤 1.2.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 (y + 10)}$ 重写成 ${(2 (y + 10))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{({(2 (y + 10))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x \sqrt{2 y + 20})$

解题步骤 1.2.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{(2 (y + 10))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (x \sqrt{2 y + 20})$

解题步骤 1.2.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{(2 (y + 10))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{2 y + 20})$

解题步骤 1.2.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.4.6.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{(2 (y + 10))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{2 y + 20})$

解题步骤 1.2.4.6.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{(2 (y + 10))}^{1}} (x \sqrt{2 y + 20})$

解题步骤 1.2.4.6.5

化简。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)} (x \sqrt{2 y + 20})$

解题步骤 1.2.5

组合 $7$ 和 $\frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)} (x \sqrt{2 y + 20})$

解题步骤 1.2.6

从 $2 y + 20$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 1.2.6.1

从 $2 y$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)} (x \sqrt{2 (y) + 20})$

解题步骤 1.2.6.2

从 $20$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)} (x \sqrt{2 y + 2 \cdot 10})$

解题步骤 1.2.6.3

从 $2 y + 2 \cdot 10$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)} (x \sqrt{2 (y + 10)})$

解题步骤 1.2.7

乘以 $\frac{7 \sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)} (x \sqrt{2 (y + 10)})$ 。

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解题步骤 1.2.7.1

组合 $x$ 和 $\frac{7 \sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (7 \sqrt{2 (y + 10)})}{2 (y + 10)} \sqrt{2 (y + 10)}$

解题步骤 1.2.7.2

组合 $\frac{x (7 \sqrt{2 (y + 10)})}{2 (y + 10)}$ 和 $\sqrt{2 (y + 10)}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (7 \sqrt{2 (y + 10)}) \sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)}$

解题步骤 1.2.7.3

对 $\sqrt{2 (y + 10)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (7 ({\sqrt{2 (y + 10)}}^{1} \sqrt{2 (y + 10)}))}{2 (y + 10)}$

解题步骤 1.2.7.4

对 $\sqrt{2 (y + 10)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (7 ({\sqrt{2 (y + 10)}}^{1} {\sqrt{2 (y + 10)}}^{1}))}{2 (y + 10)}$

解题步骤 1.2.7.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (7 {\sqrt{2 (y + 10)}}^{1 + 1})}{2 (y + 10)}$

解题步骤 1.2.7.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (7 {\sqrt{2 (y + 10)}}^{2})}{2 (y + 10)}$

解题步骤 1.2.8

化简分子。

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解题步骤 1.2.8.1

将 ${\sqrt{2 (y + 10)}}^{2}$ 重写为 $2 (y + 10)$ 。

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解题步骤 1.2.8.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 (y + 10)}$ 重写成 ${(2 (y + 10))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 {({(2 (y + 10))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 (y + 10)}$

解题步骤 1.2.8.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 {(2 (y + 10))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2 (y + 10)}$

解题步骤 1.2.8.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 {(2 (y + 10))}^{\frac{2}{2}}}{2 (y + 10)}$

解题步骤 1.2.8.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.8.1.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 {(2 (y + 10))}^{\frac{2}{2}}}{2 (y + 10)}$

解题步骤 1.2.8.1.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 {(2 (y + 10))}^{1}}{2 (y + 10)}$

解题步骤 1.2.8.1.5

化简。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (2 (y + 10))}{2 (y + 10)}$

解题步骤 1.2.8.2

运用分配律。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (2 y + 2 \cdot 10)}{2 (y + 10)}$

解题步骤 1.2.8.3

将 $2$ 乘以 $10$ 。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (2 y + 20)}{2 (y + 10)}$

解题步骤 1.2.8.4

从 $2 y + 20$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 1.2.8.4.1

从 $2 y$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (2 (y) + 20)}{2 (y + 10)}$

解题步骤 1.2.8.4.2

从 $20$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (2 y + 2 \cdot 10)}{2 (y + 10)}$

解题步骤 1.2.8.4.3

从 $2 y + 2 \cdot 10$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (2 (y + 10))}{2 (y + 10)}$

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 \cdot 2 (y + 10)}{2 (y + 10)}$

解题步骤 1.2.8.5

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 14 (y + 10)}{2 (y + 10)}$

解题步骤 1.2.9

约去 $14$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.9.1

从 $x \cdot 14 (y + 10)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 (x \cdot 7 (y + 10))}{2 (y + 10)}$

解题步骤 1.2.9.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.9.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 (x \cdot 7 (y + 10))}{2 (y + 10)}$

解题步骤 1.2.9.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (y + 10)}{y + 10}$

解题步骤 1.2.10

约去 $y + 10$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.10.1

约去公因数。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (y + 10)}{y + 10}$

解题步骤 1.2.10.2

用 $x \cdot 7$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = x \cdot 7$

解题步骤 1.2.11

将 $7$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 x$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} d y = 7 x d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} d y = \int 7 x d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

使 $u = 2 y + 20$ 。然后使 $d u = 2 d y$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.1.1

设 $u = 2 y + 20$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1

对 $2 y + 20$ 求导。

$\frac{d}{d y} [2 y + 20]$

解题步骤 2.2.1.1.2

根据加法法则， $2 y + 20$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [20]$ 。

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [20]$

解题步骤 2.2.1.1.3

计算 $\frac{d}{d y} [2 y]$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.3.1

因为 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 y$ 对 $y$ 的导数是 $2 \frac{d}{d y} [y]$ 。

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [20]$

解题步骤 2.2.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [20]$

解题步骤 2.2.1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d y} [20]$

解题步骤 2.2.1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.2.1.1.4.1

因为 $20$ 对于 $y$ 是常数，所以 $20$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 2.2.1.1.4.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

解题步骤 2.2.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u = \int 7 x d x$

解题步骤 2.2.2

化简。

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解题步骤 2.2.2.1

将 $\frac{1}{\sqrt{u}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u = \int 7 x d x$

解题步骤 2.2.2.2

将 $2$ 移到 $\sqrt{u}$ 的左侧。

$\int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u = \int 7 x d x$

解题步骤 2.2.3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u = \int 7 x d x$

解题步骤 2.2.4

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.2.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u = \int 7 x d x$

解题步骤 2.2.4.2

通过将 $u^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u = \int 7 x d x$

解题步骤 2.2.4.3

将 ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.4.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u = \int 7 x d x$

解题步骤 2.2.4.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u = \int 7 x d x$

解题步骤 2.2.4.3.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u = \int 7 x d x$

解题步骤 2.2.5

根据幂法则， $u^{- \frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}) = \int 7 x d x$

解题步骤 2.2.6

化简。

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解题步骤 2.2.6.1

将 $\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1})$ 重写为 $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}$ 。

$\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 7 x d x$

解题步骤 2.2.6.2

化简。

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解题步骤 2.2.6.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 7 x d x$

解题步骤 2.2.6.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.6.2.2.1

约去公因数。

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 7 x d x$

解题步骤 2.2.6.2.2.2

重写表达式。

$1 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 7 x d x$

解题步骤 2.2.6.2.3

将 $u^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 7 x d x$

解题步骤 2.2.7

使用 $2 y + 20$ 替换所有出现的 $u$ 。

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 7 x d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $7$ 移到积分外。

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 7 \int x d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

解题步骤 2.3.3

化简答案。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $7 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ 重写为 $7 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ 。

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 7 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2

组合 $7$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{7}{2} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}} = \frac{7}{2} x^{2} + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程两边同时进行 $2$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${({(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{7}{2} x^{2} + K)}^{2}$

解题步骤 3.2

化简指数。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

化简 ${({(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

将 ${({(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{7}{2} x^{2} + K)}^{2}$

解题步骤 3.2.1.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.1.2.1

约去公因数。

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{7}{2} x^{2} + K)}^{2}$

解题步骤 3.2.1.1.1.2.2

重写表达式。

${(2 y + 20)}^{1} = {(\frac{7}{2} x^{2} + K)}^{2}$

解题步骤 3.2.1.1.2

化简。

$2 y + 20 = {(\frac{7}{2} x^{2} + K)}^{2}$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 ${(\frac{7}{2} x^{2} + K)}^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

合并分数。

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解题步骤 3.2.2.1.1.1

组合 $\frac{7}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$2 y + 20 = {(\frac{7 x^{2}}{2} + K)}^{2}$

解题步骤 3.2.2.1.1.2

将 ${(\frac{7 x^{2}}{2} + K)}^{2}$ 重写为 $(\frac{7 x^{2}}{2} + K) (\frac{7 x^{2}}{2} + K)$ 。

$2 y + 20 = (\frac{7 x^{2}}{2} + K) (\frac{7 x^{2}}{2} + K)$

解题步骤 3.2.2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(\frac{7 x^{2}}{2} + K) (\frac{7 x^{2}}{2} + K)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.2.1

运用分配律。

$2 y + 20 = \frac{7 x^{2}}{2} (\frac{7 x^{2}}{2} + K) + K (\frac{7 x^{2}}{2} + K)$

解题步骤 3.2.2.1.2.2

运用分配律。

$2 y + 20 = \frac{7 x^{2}}{2} \cdot \frac{7 x^{2}}{2} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K (\frac{7 x^{2}}{2} + K)$

解题步骤 3.2.2.1.2.3

运用分配律。

$2 y + 20 = \frac{7 x^{2}}{2} \cdot \frac{7 x^{2}}{2} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

解题步骤 3.2.2.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.2.2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1.3.1.1

合并。

$2 y + 20 = \frac{7 x^{2} (7 x^{2})}{2 \cdot 2} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

解题步骤 3.2.2.1.3.1.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.3.1.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$2 y + 20 = \frac{7 (x^{2} x^{2}) \cdot 7}{2 \cdot 2} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

解题步骤 3.2.2.1.3.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 y + 20 = \frac{7 x^{2 + 2} \cdot 7}{2 \cdot 2} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

解题步骤 3.2.2.1.3.1.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$2 y + 20 = \frac{7 x^{4} \cdot 7}{2 \cdot 2} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

解题步骤 3.2.2.1.3.1.3

将 $7$ 乘以 $7$ 。

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{2 \cdot 2} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

解题步骤 3.2.2.1.3.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

解题步骤 3.2.2.1.3.1.5

组合 $\frac{7 x^{2}}{2}$ 和 $K$ 。

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + \frac{7 x^{2} K}{2} + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

解题步骤 3.2.2.1.3.1.6

组合 $K$ 和 $\frac{7 x^{2}}{2}$ 。

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + \frac{7 x^{2} K}{2} + \frac{K (7 x^{2})}{2} + K (K)$

解题步骤 3.2.2.1.3.1.7

将 $7$ 移到 $K$ 的左侧。

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + \frac{7 x^{2} K}{2} + \frac{7 \cdot K x^{2}}{2} + K \cdot K$

解题步骤 3.2.2.1.3.1.8

将 $K$ 乘以 $K$ 。

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + \frac{7 x^{2} K}{2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + K^{2}$

解题步骤 3.2.2.1.3.2

将 $\frac{7 x^{2} K}{2}$ 和 $\frac{7 K x^{2}}{2}$ 相加。

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解题步骤 3.2.2.1.3.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + K^{2}$

解题步骤 3.2.2.1.3.2.2

将 $\frac{7 K x^{2}}{2}$ 和 $\frac{7 K x^{2}}{2}$ 相加。

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + 2 \frac{7 K x^{2}}{2} + K^{2}$

解题步骤 3.2.2.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.4.1

约去公因数。

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + 2 \frac{7 K x^{2}}{2} + K^{2}$

解题步骤 3.2.2.1.4.2

重写表达式。

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + 7 K x^{2} + K^{2}$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

从等式两边同时减去 $20$ 。

$2 y = \frac{49 x^{4}}{4} + 7 K x^{2} + K^{2} - 20$

解题步骤 3.3.2

将 $2 y = \frac{49 x^{4}}{4} + 7 K x^{2} + K^{2} - 20$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $2 y = \frac{49 x^{4}}{4} + 7 K x^{2} + K^{2} - 20$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\frac{49 x^{4}}{4}}{2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} + \frac{- 20}{2}$

解题步骤 3.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\frac{49 x^{4}}{4}}{2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} + \frac{- 20}{2}$

解题步骤 3.3.2.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\frac{49 x^{4}}{4}}{2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} + \frac{- 20}{2}$

解题步骤 3.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.3.1.1

将分子乘以分母的倒数。

$y = \frac{49 x^{4}}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} + \frac{- 20}{2}$

解题步骤 3.3.2.3.1.2

合并。

$y = \frac{49 x^{4} \cdot 1}{4 \cdot 2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} + \frac{- 20}{2}$

解题步骤 3.3.2.3.1.3

将 $49$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{49 x^{4}}{4 \cdot 2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} + \frac{- 20}{2}$

解题步骤 3.3.2.3.1.4

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{49 x^{4}}{8} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} + \frac{- 20}{2}$

解题步骤 3.3.2.3.1.5

用 $- 20$ 除以 $2$ 。

$y = \frac{49 x^{4}}{8} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} - 10$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \frac{49 x^{4}}{8} + \frac{K x^{2}}{2} + K$

解题步骤 5

使用初始条件，通过将 $0$ 代入 $x$ ，将 $5$ 代入 $y$ ，在 $y = \frac{49 x^{4}}{8} + \frac{K x^{2}}{2} + K$ 中求 $K$ 的值。

$5 = \frac{49 \cdot 0^{4}}{8} + \frac{K \cdot 0^{2}}{2} + K$

解题步骤 6

求解 $K$ 。

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解题步骤 6.1

将方程重写为 $\frac{49 \cdot 0^{4}}{8} + \frac{K \cdot 0^{2}}{2} + K = 5$ 。

$\frac{49 \cdot 0^{4}}{8} + \frac{K \cdot 0^{2}}{2} + K = 5$

解题步骤 6.2

化简 $\frac{49 \cdot 0^{4}}{8} + \frac{K \cdot 0^{2}}{2} + K$ 。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{49 \cdot 0}{8} + \frac{K \cdot 0^{2}}{2} + K = 5$

解题步骤 6.2.1.2

将 $49$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{8} + \frac{K \cdot 0^{2}}{2} + K = 5$

解题步骤 6.2.1.3

用 $0$ 除以 $8$ 。

$0 + \frac{K \cdot 0^{2}}{2} + K = 5$

解题步骤 6.2.1.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 + \frac{K \cdot 0}{2} + K = 5$

解题步骤 6.2.1.5

将 $K$ 乘以 $0$ 。

$0 + \frac{0}{2} + K = 5$

解题步骤 6.2.1.6

用 $0$ 除以 $2$ 。

$0 + 0 + K = 5$

解题步骤 6.2.2

合并 $0 + 0 + K$ 中相反的项。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 + K = 5$

解题步骤 6.2.2.2

将 $0$ 和 $K$ 相加。

$K = 5$

解题步骤 7

代入 $5$ 替换 $y = \frac{49 x^{4}}{8} + \frac{K x^{2}}{2} + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 7.1

代入 $5$ 替换 $K$ 。

$y = \frac{49 x^{4}}{8} + \frac{5 x^{2}}{2} + K$

微积分学 示例

微积分学示例