微积分学示例

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 e^{5 x} y = \sin (8 x)$

解题步骤 1

检查方程的左侧是否是 $e^{5 x} y$ 项的导数的结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{5 x}$ 且 $g (x) = y$ 。

$e^{5 x} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

解题步骤 1.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$e^{5 x} y' + y \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

解题步骤 1.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 5 x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $5 x$ 。

$e^{5 x} y' + y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x])$

解题步骤 1.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{5 x} y' + y (e^{u} \frac{d}{d x} [5 x])$

解题步骤 1.3.3

使用 $5 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{5 x} y' + y (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])$

解题步骤 1.4

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{5 x} y' + y (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 1.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{5 x} y' + y (e^{5 x} (5 \cdot 1))$

解题步骤 1.6

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$e^{5 x} y' + y (e^{5 x} \cdot 5)$

解题步骤 1.7

将 $5$ 移到 $e^{5 x}$ 的左侧。

$e^{5 x} y' + y (5 e^{5 x})$

解题步骤 1.8

代入 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + y (5 e^{5 x})$

解题步骤 1.9

去掉圆括号。

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + y \cdot 5 e^{5 x}$

解题步骤 1.10

将 $y$ 和 $5$ 重新排序。

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 \cdot y e^{5 x}$

解题步骤 2

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{5 x} y] = \sin (8 x)$

解题步骤 3

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{5 x} y] d x = \int \sin (8 x) d x$

解题步骤 4

对左边积分。

$e^{5 x} y = \int \sin (8 x) d x$

解题步骤 5

对右边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

使 $u = 8 x$ 。然后使 $d u = 8 d x$ ，以便 $\frac{1}{8} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.1

设 $u = 8 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.1.1

对 $8 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [8 x]$

解题步骤 5.1.1.2

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$8 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$8 \cdot 1$

解题步骤 5.1.1.4

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$8$

解题步骤 5.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$e^{5 x} y = \int \sin (u) \frac{1}{8} d u$

解题步骤 5.2

组合 $\sin (u)$ 和 $\frac{1}{8}$ 。

$e^{5 x} y = \int \frac{\sin (u)}{8} d u$

解题步骤 5.3

由于 $\frac{1}{8}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{8}$ 移到积分外。

$e^{5 x} y = \frac{1}{8} \int \sin (u) d u$

解题步骤 5.4

$\sin (u)$ 对 $u$ 的积分为 $- \cos (u)$ 。

$e^{5 x} y = \frac{1}{8} (- \cos (u) + C)$

解题步骤 5.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.1

化简。

$e^{5 x} y = \frac{1}{8} (- \cos (u)) + C$

解题步骤 5.5.2

组合 $\frac{1}{8}$ 和 $\cos (u)$ 。

$e^{5 x} y = - \frac{\cos (u)}{8} + C$

解题步骤 5.6

使用 $8 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{5 x} y = - \frac{\cos (8 x)}{8} + C$

解题步骤 5.7

重新排序项。

$e^{5 x} y = - \frac{1}{8} \cos (8 x) + C$

解题步骤 6

将 $e^{5 x} y = - \frac{1}{8} \cos (8 x) + C$ 中的每一项除以 $e^{5 x}$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

将 $e^{5 x} y = - \frac{1}{8} \cos (8 x) + C$ 中的每一项都除以 $e^{5 x}$ 。

$\frac{e^{5 x} y}{e^{5 x}} = \frac{- \frac{1}{8} \cos (8 x)}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

解题步骤 6.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

约去 $e^{5 x}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{5 x} y}{e^{5 x}} = \frac{- \frac{1}{8} \cos (8 x)}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

解题步骤 6.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{- \frac{1}{8} \cos (8 x)}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

解题步骤 6.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.1.1

组合 $\cos (8 x)$ 和 $\frac{1}{8}$ 。

$y = \frac{- \frac{\cos (8 x)}{8}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

解题步骤 6.3.1.2

将分子乘以分母的倒数。

$y = - \frac{\cos (8 x)}{8} \cdot \frac{1}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

解题步骤 6.3.1.3

将 $\frac{1}{e^{5 x}}$ 乘以 $\frac{\cos (8 x)}{8}$ 。

$y = - \frac{\cos (8 x)}{e^{5 x} \cdot 8} + \frac{C}{e^{5 x}}$

解题步骤 6.3.1.4

将 $8$ 移到 $e^{5 x}$ 的左侧。

$y = - \frac{\cos (8 x)}{8 e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

微积分学 示例

微积分学示例