微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = 5 y + 2$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{5 y + 2}$ 。

$\frac{1}{5 y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{5 y + 2} (5 y + 2)$

解题步骤 1.2

约去 $5 y + 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{5 y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{5 y + 2} (5 y + 2)$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{5 y + 2} \frac{d y}{d x} = 1$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{5 y + 2} d y = 1 d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{5 y + 2} d y = \int d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

使 $u = 5 y + 2$ 。然后使 $d u = 5 d y$ ，以便 $\frac{1}{5} d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.1.1

设 $u = 5 y + 2$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1

对 $5 y + 2$ 求导。

$\frac{d}{d y} [5 y + 2]$

解题步骤 2.2.1.1.2

根据加法法则， $5 y + 2$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [2]$ 。

$\frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [2]$

解题步骤 2.2.1.1.3

计算 $\frac{d}{d y} [5 y]$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.3.1

因为 $5$ 对于 $y$ 是常数，所以 $5 y$ 对 $y$ 的导数是 $5 \frac{d}{d y} [y]$ 。

$5 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

解题步骤 2.2.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2]$

解题步骤 2.2.1.1.3.3

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$5 + \frac{d}{d y} [2]$

解题步骤 2.2.1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.2.1.1.4.1

因为 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$5 + 0$

解题步骤 2.2.1.1.4.2

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$5$

解题步骤 2.2.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{5} d u = \int d x$

解题步骤 2.2.2

化简。

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解题步骤 2.2.2.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{5}$ 。

$\int \frac{1}{u \cdot 5} d u = \int d x$

解题步骤 2.2.2.2

将 $5$ 移到 $u$ 的左侧。

$\int \frac{1}{5 u} d u = \int d x$

解题步骤 2.2.3

由于 $\frac{1}{5}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{5}$ 移到积分外。

$\frac{1}{5} \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

解题步骤 2.2.4

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\frac{1}{5} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

解题步骤 2.2.5

化简。

$\frac{1}{5} \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

解题步骤 2.2.6

使用 $5 y + 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{5} \ln (| 5 y + 2 |) + C_{1} = \int d x$

解题步骤 2.3

应用常数不变法则。

$\frac{1}{5} \ln (| 5 y + 2 |) + C_{1} = x + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\frac{1}{5} \ln (| 5 y + 2 |) = x + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $5$ 。

$5 (\frac{1}{5} \ln (| 5 y + 2 |)) = 5 (x + C)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

化简 $5 (\frac{1}{5} \ln (| 5 y + 2 |))$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $\ln (| 5 y + 2 |)$ 。

$5 \frac{\ln (| 5 y + 2 |)}{5} = 5 (x + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$5 \frac{\ln (| 5 y + 2 |)}{5} = 5 (x + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$\ln (| 5 y + 2 |) = 5 (x + C)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

运用分配律。

$\ln (| 5 y + 2 |) = 5 x + 5 C$

解题步骤 3.3

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| 5 y + 2 |)} = e^{5 x + 5 C}$

解题步骤 3.4

使用对数的定义将 $\ln (| 5 y + 2 |) = 5 x + 5 C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{5 x + 5 C} = | 5 y + 2 |$

解题步骤 3.5

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.5.1

将方程重写为 $| 5 y + 2 | = e^{5 x + 5 C}$ 。

$| 5 y + 2 | = e^{5 x + 5 C}$

解题步骤 3.5.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$5 y + 2 = \pm e^{5 x + 5 C}$

解题步骤 3.5.3

从等式两边同时减去 $2$ 。

$5 y = \pm e^{5 x + 5 C} - 2$

解题步骤 3.5.4

将 $5 y = \pm e^{5 x + 5 C} - 2$ 中的每一项除以 $5$ 并化简。

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解题步骤 3.5.4.1

将 $5 y = \pm e^{5 x + 5 C} - 2$ 中的每一项都除以 $5$ 。

$\frac{5 y}{5} = \frac{\pm e^{5 x + 5 C}}{5} + \frac{- 2}{5}$

解题步骤 3.5.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.4.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5 y}{5} = \frac{\pm e^{5 x + 5 C}}{5} + \frac{- 2}{5}$

解题步骤 3.5.4.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\pm e^{5 x + 5 C}}{5} + \frac{- 2}{5}$

解题步骤 3.5.4.3

化简右边。

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解题步骤 3.5.4.3.1

将负号移到分数的前面。

$y = \frac{\pm e^{5 x + 5 C}}{5} - \frac{2}{5}$

解题步骤 3.5.4.3.2

在公分母上合并分子。

$y = \frac{\pm e^{5 x + 5 C} - 2}{5}$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 4.1

化简积分常数。

$y = \frac{\pm e^{5 x + C} - 2}{5}$

解题步骤 4.2

将 $e^{5 x + C}$ 重写为 $e^{5 x} e^{C}$ 。

$y = \frac{\pm e^{5 x} e^{C} - 2}{5}$

解题步骤 4.3

将 $e^{5 x}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$y = \frac{\pm e^{C} e^{5 x} - 2}{5}$

解题步骤 4.4

用加号或减号合并常数。

$y = \frac{C e^{5 x} - 2}{5}$

微积分学 示例

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