微积分学示例

$(3 x^{2} + y^{2} + 4) d x + x (x - 2 y) d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = 3 x^{2} + y^{2} + 4$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} + y^{2} + 4]$

解题步骤 1.2

根据加法法则， $3 x^{2} + y^{2} + 4$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [4]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [4]$

解题步骤 1.3

因为 $3 x^{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [4]$

解题步骤 1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + \frac{d}{d y} [4]$

解题步骤 1.5

因为 $4$ 对于 $y$ 是常数，所以 $4$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + 0$

解题步骤 1.6

合并项。

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解题步骤 1.6.1

将 $0$ 和 $2 y$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 0$

解题步骤 1.6.2

将 $2 y$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = x (x - 2 y)$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x - 2 y)]$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x - 2 y$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x - 2 y] + (x - 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

根据加法法则， $x - 2 y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]) + (x - 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + \frac{d}{d x} [- 2 y]) + (x - 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.3

因为 $- 2 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + 0) + (x - 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.4

化简表达式。

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解题步骤 2.3.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cdot 1 + (x - 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.4.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x - 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x - 2 y) \cdot 1$

解题步骤 2.3.6

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.3.6.1

将 $x - 2 y$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + x - 2 y$

解题步骤 2.3.6.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 2 y$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $2 y$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $2 x - 2 y$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$2 y = 2 x - 2 y$

解题步骤 3.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$2 y = 2 x - 2 y$ 不是恒等式。

解题步骤 4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

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解题步骤 4.1

代入 $2 y$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

解题步骤 4.2

代入 $2 x - 2 y$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{2 y - (2 x - 2 y)}{N}$

解题步骤 4.3

代入 $x (x - 2 y)$ 替换 $N$ 。

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解题步骤 4.3.1

代入 $x (x - 2 y)$ 替换 $N$ 。

$\frac{2 y - (2 x - 2 y)}{x (x - 2 y)}$

解题步骤 4.3.2

化简分子。

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解题步骤 4.3.2.1

运用分配律。

$\frac{2 y - (2 x) - (- 2 y)}{x (x - 2 y)}$

解题步骤 4.3.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 y - 2 x - (- 2 y)}{x (x - 2 y)}$

解题步骤 4.3.2.3

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 y - 2 x + 2 y}{x (x - 2 y)}$

解题步骤 4.3.2.4

将 $2 y$ 和 $2 y$ 相加。

$\frac{- 2 x + 4 y}{x (x - 2 y)}$

解题步骤 4.3.2.5

从 $- 2 x + 4 y$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 4.3.2.5.1

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x) + 4 y}{x (x - 2 y)}$

解题步骤 4.3.2.5.2

从 $4 y$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x) + 2 (2 y)}{x (x - 2 y)}$

解题步骤 4.3.2.5.3

从 $2 (- x) + 2 (2 y)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x + 2 y)}{x (x - 2 y)}$

解题步骤 4.3.3

约去 $- x + 2 y$ 和 $x - 2 y$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.1

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (x) + 2 y)}{x (x - 2 y)}$

解题步骤 4.3.3.2

从 $2 y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (x) - (- 2 y))}{x (x - 2 y)}$

解题步骤 4.3.3.3

从 $- (x) - (- 2 y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (x - 2 y))}{x (x - 2 y)}$

解题步骤 4.3.3.4

将 $- (x - 2 y)$ 重写为 $- 1 (x - 2 y)$ 。

$\frac{2 (- 1 (x - 2 y))}{x (x - 2 y)}$

解题步骤 4.3.3.5

约去公因数。

$\frac{2 (- 1 (x - 2 y))}{x (x - 2 y)}$

解题步骤 4.3.3.6

重写表达式。

$\frac{2 \cdot (- 1)}{x}$

解题步骤 4.3.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 2}{x}$

解题步骤 4.3.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{x}$

解题步骤 4.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

解题步骤 5

计算积分 $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ 。

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解题步骤 5.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

解题步骤 5.2

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

解题步骤 5.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 5.4

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

解题步骤 5.5

化简。

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

解题步骤 5.6

化简每一项。

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解题步骤 5.6.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln (| x |)$ 。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

解题步骤 5.6.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

解题步骤 5.6.3

去掉 ${| x |}^{- 2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

解题步骤 5.6.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

解题步骤 6

在 $(3 x^{2} + y^{2} + 4) d x + x (x - 2 y) d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

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解题步骤 6.1

将 $3 x^{2} + y^{2} + 4$ 乘以 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$(3 x^{2} + y^{2} + 4) \frac{1}{x^{2}} d x + x (x - 2 y) d y = 0$

解题步骤 6.2

将 $3 x^{2} + y^{2} + 4$ 乘以 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$\frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}} d x + x (x - 2 y) d y = 0$

解题步骤 6.3

将 $x (x - 2 y)$ 乘以 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$\frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}} d x + x (x - 2 y) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

解题步骤 6.4

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}} d x + x (x - 2 y) \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

解题步骤 6.4.2

约去公因数。

$\frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}} d x + x (x - 2 y) \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

解题步骤 6.4.3

重写表达式。

$\frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}} d x + (x - 2 y) \frac{1}{x} d y = 0$

解题步骤 6.5

将 $x - 2 y$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}} d x + \frac{x - 2 y}{x} d y = 0$

解题步骤 7

使 $f (x, y)$ 等于 $N (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int \frac{x - 2 y}{x} d y$

解题步骤 8

对 $N (x, y) = \frac{x - 2 y}{x}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 8.1

将分数分解成多个分数。

$f (x, y) = \int \frac{x}{x} + \frac{- 2 y}{x} d y$

解题步骤 8.2

将单个积分拆分为多个积分。

$f (x, y) = \int \frac{x}{x} d y + \int \frac{- 2 y}{x} d y$

解题步骤 8.3

化简。

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解题步骤 8.3.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.1

约去公因数。

$f (x, y) = \int \frac{x}{x} d y + \int \frac{- 2 y}{x} d y$

解题步骤 8.3.1.2

重写表达式。

$f (x, y) = \int d y + \int \frac{- 2 y}{x} d y$

解题步骤 8.3.2

将负号移到分数的前面。

$f (x, y) = \int d y + \int - \frac{2 y}{x} d y$

解题步骤 8.4

应用常数不变法则。

$f (x, y) = y + C + \int - \frac{2 y}{x} d y$

解题步骤 8.5

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$f (x, y) = y + C - \int \frac{2 y}{x} d y$

解题步骤 8.6

由于 $\frac{2}{x}$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $\frac{2}{x}$ 移到积分外。

$f (x, y) = y + C - (\frac{2}{x} \int y d y)$

解题步骤 8.7

去掉圆括号。

$f (x, y) = y + C - \frac{2}{x} \int y d y$

解题步骤 8.8

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$f (x, y) = y + C - \frac{2}{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

解题步骤 8.9

化简。

$f (x, y) = y - \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$

解题步骤 8.10

化简。

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解题步骤 8.10.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{2}{x}$ 。

$f (x, y) = y - \frac{2}{2 x} y^{2} + C$

解题步骤 8.10.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.10.2.1

约去公因数。

$f (x, y) = y - \frac{2}{2 x} y^{2} + C$

解题步骤 8.10.2.2

重写表达式。

$f (x, y) = y - \frac{1}{x} y^{2} + C$

解题步骤 8.10.3

组合 $y^{2}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$f (x, y) = y - \frac{y^{2}}{x} + C$

解题步骤 9

由于 $g (x)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (x)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = y - \frac{y^{2}}{x} + g (x)$

解题步骤 10

设置 $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

解题步骤 11

求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。

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解题步骤 11.1

将 $f$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{d}{d x} [y - \frac{y^{2}}{x} + g (x)] = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

解题步骤 11.2

求微分。

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解题步骤 11.2.1

根据加法法则， $y - \frac{y^{2}}{x} + g (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

解题步骤 11.2.2

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

解题步骤 11.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{x}]$ 。

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解题步骤 11.3.1

因为 $- y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{y^{2}}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $- y^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$0 - y^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

解题步骤 11.3.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$0 - y^{2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

解题步骤 11.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$0 - y^{2} (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

解题步骤 11.3.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$0 + 1 y^{2} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

解题步骤 11.3.5

将 $y^{2}$ 乘以 $1$ 。

$0 + y^{2} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

解题步骤 11.4

使用函数法则进行微分，即 $g (x)$ 的导数为 $\frac{d g}{d x}$ 。

$0 + y^{2} x^{- 2} + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

解题步骤 11.5

化简。

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解题步骤 11.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$0 + y^{2} \frac{1}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

解题步骤 11.5.2

合并项。

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解题步骤 11.5.2.1

组合 $y^{2}$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$0 + \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

解题步骤 11.5.2.2

将 $0$ 和 $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ 相加。

$\frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

解题步骤 11.5.3

重新排序项。

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2}}{x^{2}} = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

解题步骤 12

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 12.1

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 12.1.1

将所有包含变量的项移到等式左边。

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解题步骤 12.1.1.1

从等式两边同时减去 $\frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$ 。

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2}}{x^{2}} - \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}} = 0$

解题步骤 12.1.1.2

在公分母上合并分子。

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - (3 x^{2} + y^{2} + 4)}{x^{2}} = 0$

解题步骤 12.1.1.3

化简每一项。

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解题步骤 12.1.1.3.1

运用分配律。

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - (3 x^{2}) - y^{2} - 1 \cdot 4}{x^{2}} = 0$

解题步骤 12.1.1.3.2

化简。

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解题步骤 12.1.1.3.2.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - 3 x^{2} - y^{2} - 1 \cdot 4}{x^{2}} = 0$

解题步骤 12.1.1.3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - 3 x^{2} - y^{2} - 4}{x^{2}} = 0$

解题步骤 12.1.1.4

合并 $y^{2} - 3 x^{2} - y^{2} - 4$ 中相反的项。

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解题步骤 12.1.1.4.1

从 $y^{2}$ 中减去 $y^{2}$ 。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 3 x^{2} + 0 - 4}{x^{2}} = 0$

解题步骤 12.1.1.4.2

将 $- 3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 3 x^{2} - 4}{x^{2}} = 0$

解题步骤 12.1.1.5

要将 $\frac{d g}{d x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ 。

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 3 x^{2} - 4}{x^{2}} = 0$

解题步骤 12.1.1.6

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} - 3 x^{2} - 4}{x^{2}} = 0$

解题步骤 12.1.2

将分子设为等于零。

$\frac{d g}{d x} x^{2} - 3 x^{2} - 4 = 0$

解题步骤 12.1.3

求解 $\frac{d g}{d x}$ 的方程。

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解题步骤 12.1.3.1

将所有不包含 $\frac{d g}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 12.1.3.1.1

在等式两边都加上 $3 x^{2}$ 。

$\frac{d g}{d x} x^{2} - 4 = 3 x^{2}$

解题步骤 12.1.3.1.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$\frac{d g}{d x} x^{2} = 3 x^{2} + 4$

解题步骤 12.1.3.2

将 $\frac{d g}{d x} x^{2} = 3 x^{2} + 4$ 中的每一项除以 $x^{2}$ 并化简。

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解题步骤 12.1.3.2.1

将 $\frac{d g}{d x} x^{2} = 3 x^{2} + 4$ 中的每一项都除以 $x^{2}$ 。

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2}}{x^{2}} = \frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}$

解题步骤 12.1.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 12.1.3.2.2.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 12.1.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2}}{x^{2}} = \frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}$

解题步骤 12.1.3.2.2.1.2

用 $\frac{d g}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d g}{d x} = \frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}$

解题步骤 12.1.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 12.1.3.2.3.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 12.1.3.2.3.1.1

约去公因数。

$\frac{d g}{d x} = \frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}$

解题步骤 12.1.3.2.3.1.2

用 $3$ 除以 $1$ 。

$\frac{d g}{d x} = 3 + \frac{4}{x^{2}}$

解题步骤 13

求 $3 + \frac{4}{x^{2}}$ 的不定积分，以求出 $g (x)$ 。

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解题步骤 13.1

对 $\frac{d g}{d x} = 3 + \frac{4}{x^{2}}$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 3 + \frac{4}{x^{2}} d x$

解题步骤 13.2

计算 $\int \frac{d g}{d x} d x$ 。

$g (x) = \int 3 + \frac{4}{x^{2}} d x$

解题步骤 13.3

将单个积分拆分为多个积分。

$g (x) = \int 3 d x + \int \frac{4}{x^{2}} d x$

解题步骤 13.4

应用常数不变法则。

$g (x) = 3 x + C + \int \frac{4}{x^{2}} d x$

解题步骤 13.5

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$g (x) = 3 x + C + 4 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 13.6

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$g (x) = 3 x + C + 4 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 13.7

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 13.7.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$g (x) = 3 x + C + 4 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 13.7.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$g (x) = 3 x + C + 4 \int x^{- 2} d x$

解题步骤 13.8

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$g (x) = 3 x + C + 4 (- x^{- 1} + C)$

解题步骤 13.9

化简。

$g (x) = 3 x + 4 (- \frac{1}{x}) + C$

解题步骤 13.10

化简。

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解题步骤 13.10.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$g (x) = 3 x - 4 \frac{1}{x} + C$

解题步骤 13.10.2

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$g (x) = 3 x + \frac{- 4}{x} + C$

解题步骤 13.10.3

将负号移到分数的前面。

$g (x) = 3 x - \frac{4}{x} + C$

解题步骤 14

在 $f (x, y) = y - \frac{y^{2}}{x} + g (x)$ 中代入 $g (x)$ 。

$f (x, y) = y - \frac{y^{2}}{x} + 3 x - \frac{4}{x} + C$

微积分学 示例

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