微积分学示例

$(1 + x^{2}) d y + (1 + y^{2}) d x = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $(1 + y^{2}) d x$ 。

$(1 + x^{2}) d y = - (1 + y^{2}) d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ 。

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

约去 $1 + x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

约去公因数。

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) d x$

解题步骤 3.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) d x$

解题步骤 3.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = - \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

解题步骤 3.3

约去 $1 + y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1

将 $- \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

解题步骤 3.3.2

从 $(1 + x^{2}) (1 + y^{2})$ 中分解出因数 $1 + y^{2}$ 。

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} (1 + y^{2}) d x$

解题步骤 3.3.3

约去公因数。

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} (1 + y^{2}) d x$

解题步骤 3.3.4

重写表达式。

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 3.4

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 4.2

对左边积分。

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解题步骤 4.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 4.2.2

$\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ 对 $y$ 的积分为 $\arctan (y) + C_{1}$ 。

$\arctan (y) + C_{1} = \int - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

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解题步骤 4.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 4.3.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

解题步骤 4.3.3

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ 对 $x$ 的积分为 $\arctan (x) + C_{2}$ 。

$\arctan (y) + C_{1} = - (\arctan (x) + C_{2})$

解题步骤 4.3.4

化简。

$\arctan (y) + C_{1} = - \arctan (x) + C_{2}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\arctan (y) = - \arctan (x) + K$

解题步骤 5

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.1

将方程重写为 $- \arctan (x) + K = \arctan (y)$ 。

$- \arctan (x) + K = \arctan (y)$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $K$ 。

$- \arctan (x) = \arctan (y) - K$

解题步骤 5.3

将 $- \arctan (x) = \arctan (y) - K$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $- \arctan (x) = \arctan (y) - K$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \arctan (x)}{- 1} = \frac{\arctan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\arctan (x)}{1} = \frac{\arctan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

解题步骤 5.3.2.2

用 $\arctan (x)$ 除以 $1$ 。

$\arctan (x) = \frac{\arctan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1.1

移动 $\frac{\arctan (y)}{- 1}$ 中分母的负号。

$\arctan (x) = - 1 \cdot \arctan (y) + \frac{- K}{- 1}$

解题步骤 5.3.3.1.2

将 $- 1 \cdot \arctan (y)$ 重写为 $- \arctan (y)$ 。

$\arctan (x) = - \arctan (y) + \frac{- K}{- 1}$

解题步骤 5.3.3.1.3

将两个负数相除得到一个正数。

$\arctan (x) = - \arctan (y) + \frac{K}{1}$

解题步骤 5.3.3.1.4

用 $K$ 除以 $1$ 。

$\arctan (x) = - \arctan (y) + K$

解题步骤 5.4

取方程两边的反正切的逆函数来从反正切内提出 $y$ 。

$x = \tan (- \arctan (y) + K)$

解题步骤 5.5

将方程重写为 $\tan (- \arctan (y) + K) = x$ 。

$\tan (- \arctan (y) + K) = x$

解题步骤 5.6

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $\arctan (y)$ 。

$- \arctan (y) + K = \arctan (x)$

解题步骤 5.7

从等式两边同时减去 $K$ 。

$- \arctan (y) = \arctan (x) - K$

解题步骤 5.8

将 $- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 5.8.1

将 $- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \arctan (y)}{- 1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

解题步骤 5.8.2

化简左边。

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解题步骤 5.8.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\arctan (y)}{1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

解题步骤 5.8.2.2

用 $\arctan (y)$ 除以 $1$ 。

$\arctan (y) = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

解题步骤 5.8.3

化简右边。

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解题步骤 5.8.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.8.3.1.1

移动 $\frac{\arctan (x)}{- 1}$ 中分母的负号。

$\arctan (y) = - 1 \cdot \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

解题步骤 5.8.3.1.2

将 $- 1 \cdot \arctan (x)$ 重写为 $- \arctan (x)$ 。

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

解题步骤 5.8.3.1.3

将两个负数相除得到一个正数。

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{K}{1}$

解题步骤 5.8.3.1.4

用 $K$ 除以 $1$ 。

$\arctan (y) = - \arctan (x) + K$

解题步骤 5.9

取方程两边的反正切的逆函数来从反正切内提出 $y$ 。

$y = \tan (- \arctan (x) + K)$

解题步骤 5.10

因为 $y$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$\tan (- \arctan (y) + K) = x$

解题步骤 5.11

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $\arctan (y)$ 。

$- \arctan (y) + K = \arctan (x)$

解题步骤 5.12

从等式两边同时减去 $K$ 。

$- \arctan (y) = \arctan (x) - K$

解题步骤 5.13

将 $- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 5.13.1

将 $- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \arctan (y)}{- 1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

解题步骤 5.13.2

化简左边。

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解题步骤 5.13.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\arctan (y)}{1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

解题步骤 5.13.2.2

用 $\arctan (y)$ 除以 $1$ 。

$\arctan (y) = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

解题步骤 5.13.3

化简右边。

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解题步骤 5.13.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.13.3.1.1

移动 $\frac{\arctan (x)}{- 1}$ 中分母的负号。

$\arctan (y) = - 1 \cdot \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

解题步骤 5.13.3.1.2

将 $- 1 \cdot \arctan (x)$ 重写为 $- \arctan (x)$ 。

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

解题步骤 5.13.3.1.3

将两个负数相除得到一个正数。

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{K}{1}$

解题步骤 5.13.3.1.4

用 $K$ 除以 $1$ 。

$\arctan (y) = - \arctan (x) + K$

解题步骤 5.14

取方程两边的反正切的逆函数来从反正切内提出 $y$ 。

$y = \tan (- \arctan (x) + K)$

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