微积分学示例

$x y d x + (1 + x) (1 - y) d y = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $x y d x$ 。

$(1 + x) (1 - y) d y = - x y d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{(1 + x) y}$ 。

$\frac{1}{(1 + x) y} ((1 + x) (1 - y)) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (- x y) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

约去 $1 + x$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

从 $(1 + x) y$ 中分解出因数 $1 + x$ 。

$\frac{1}{(1 + x) (y)} ((1 + x) (1 - y)) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (- x y) d x$

解题步骤 3.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{(1 + x) y} ((1 + x) (1 - y)) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (- x y) d x$

解题步骤 3.1.3

重写表达式。

$\frac{1}{y} (1 - y) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (- x y) d x$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1}{y}$ 乘以 $1 - y$ 。

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{1}{(1 + x) y} (- x y) d x$

解题步骤 3.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1 - y}{y} d y = - \frac{1}{(1 + x) y} (x y) d x$

解题步骤 3.4

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1

将 $- \frac{1}{(1 + x) y}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{(1 + x) y} (x y) d x$

解题步骤 3.4.2

从 $(1 + x) y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 + x)} (x y) d x$

解题步骤 3.4.3

从 $x y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 + x)} (y x) d x$

解题步骤 3.4.4

约去公因数。

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 + x)} (y x) d x$

解题步骤 3.4.5

重写表达式。

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{1 + x} x d x$

解题步骤 3.5

组合 $\frac{- 1}{1 + x}$ 和 $x$ 。

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- x}{1 + x} d x$

解题步骤 3.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{1 - y}{y} d y = - \frac{x}{1 + x} d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1 - y}{y} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

解题步骤 4.2

对左边积分。

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解题步骤 4.2.1

将分数分解成多个分数。

$\int \frac{1}{y} + \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

解题步骤 4.2.2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

解题步骤 4.2.3

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.1

约去公因数。

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

解题步骤 4.2.3.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$\int \frac{1}{y} d y + \int - 1 d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

解题步骤 4.2.4

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - 1 d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

解题步骤 4.2.5

应用常数不变法则。

$\ln (| y |) + C_{1} - y + C_{2} = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

解题步骤 4.2.6

化简。

$\ln (| y |) - y + C_{3} = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

解题步骤 4.2.7

重新排序项。

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

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解题步骤 4.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{x}{1 + x} d x$

解题步骤 4.3.2

将 $1$ 和 $x$ 重新排序。

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{x}{x + 1} d x$

解题步骤 4.3.3

用 $x$ 除以 $x + 1$ 。

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解题步骤 4.3.3.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$x$

$0$

解题步骤 4.3.3.2

将被除数中的最高阶项 $x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

解题步骤 4.3.3.3

将新的商式项乘以除数。

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

解题步骤 4.3.3.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x + 1$ 中的所有符号

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

解题步骤 4.3.3.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

解题步骤 4.3.3.6

最终答案为商加上余数除以除数。

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

解题步骤 4.3.4

将单个积分拆分为多个积分。

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (\int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

解题步骤 4.3.5

应用常数不变法则。

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x + C_{4} + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

解题步骤 4.3.6

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x + C_{4} - \int \frac{1}{x + 1} d x)$

解题步骤 4.3.7

使 $u = x + 1$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.3.7.1

设 $u = x + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.3.7.1.1

对 $x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 4.3.7.1.2

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.3.7.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.3.7.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 4.3.7.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 4.3.7.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x + C_{4} - \int \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 4.3.8

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x + C_{4} - (\ln (| u |) + C_{5}))$

解题步骤 4.3.9

化简。

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x - \ln (| u |)) + C_{6}$

解题步骤 4.3.10

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x - \ln (| x + 1 |)) + C_{6}$

解题步骤 4.3.11

化简。

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解题步骤 4.3.11.1

运用分配律。

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - x - - \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

解题步骤 4.3.11.2

乘以 $- - \ln (| x + 1 |)$ 。

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解题步骤 4.3.11.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - x + 1 \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

解题步骤 4.3.11.2.2

将 $\ln (| x + 1 |)$ 乘以 $1$ 。

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - x + \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- y + \ln (| y |) = - x + \ln (| x + 1 |) + C$

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