微积分学示例

$\frac{d y}{d x} + y = \frac{1}{1 + e^{x}}$

解题步骤 1

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = 1$ 。

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解题步骤 1.1

建立积分。

$e^{\int d x}$

解题步骤 1.2

应用常数不变法则。

$e^{x + C}$

解题步骤 1.3

去掉积分常数。

$e^{x}$

解题步骤 2

每一项乘以积分因数 $e^{x}$ 。

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解题步骤 2.1

每一项乘以 $e^{x}$ 。

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} \frac{1}{1 + e^{x}}$

解题步骤 2.2

组合 $e^{x}$ 和 $\frac{1}{1 + e^{x}}$ 。

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$

解题步骤 2.3

将 $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$ 中的因式重新排序。

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$

解题步骤 3

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$

解题步骤 4

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

解题步骤 5

对左边积分。

$e^{x} y = \int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

解题步骤 6

对右边积分。

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解题步骤 6.1

使 $u = 1 + e^{x}$ 。然后使 $d u = e^{x} d x$ ，以便 $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.1.1

设 $u = 1 + e^{x}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1.1

对 $1 + e^{x}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

解题步骤 6.1.1.2

求微分。

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解题步骤 6.1.1.2.1

根据加法法则， $1 + e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 6.1.1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 6.1.1.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$0 + e^{x}$

解题步骤 6.1.1.4

将 $0$ 和 $e^{x}$ 相加。

$e^{x}$

解题步骤 6.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$e^{x} y = \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 6.2

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$e^{x} y = \ln (| u |) + C$

解题步骤 6.3

使用 $1 + e^{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{x} y = \ln (| 1 + e^{x} |) + C$

解题步骤 7

将 $e^{x} y = \ln (| 1 + e^{x} |) + C$ 中的每一项除以 $e^{x}$ 并化简。

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解题步骤 7.1

将 $e^{x} y = \ln (| 1 + e^{x} |) + C$ 中的每一项都除以 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\ln (| 1 + e^{x} |)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 7.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.1

约去 $e^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\ln (| 1 + e^{x} |)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 7.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\ln (| 1 + e^{x} |)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 7.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.1

在公分母上合并分子。

$y = \frac{\ln (| 1 + e^{x} |) + C}{e^{x}}$

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