微积分学示例

$e^{2 x} \frac{d f}{d x} + e^{x} = 1$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

求解 $\frac{d f}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

将 $e^{2 x} \frac{d f}{d x} + e^{x}$ 中的因式重新排序。

$\frac{d f}{d x} e^{2 x} + e^{x} = 1$

解题步骤 1.1.2

从等式两边同时减去 $e^{x}$ 。

$\frac{d f}{d x} e^{2 x} = 1 - e^{x}$

解题步骤 1.1.3

将 $\frac{d f}{d x} e^{2 x} = 1 - e^{x}$ 中的每一项除以 $e^{2 x}$ 并化简。

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解题步骤 1.1.3.1

将 $\frac{d f}{d x} e^{2 x} = 1 - e^{x}$ 中的每一项都除以 $e^{2 x}$ 。

$\frac{\frac{d f}{d x} e^{2 x}}{e^{2 x}} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{- e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 1.1.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.3.2.1

约去 $e^{2 x}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\frac{d f}{d x} e^{2 x}}{e^{2 x}} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{- e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 1.1.3.2.1.2

用 $\frac{d f}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d f}{d x} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{- e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 1.1.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.3.3.1

约去 $e^{x}$ 和 $e^{2 x}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.3.3.1.1

从 $- e^{x}$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

$\frac{d f}{d x} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{e^{2 x} (- e^{- x})}{e^{2 x}}$

解题步骤 1.1.3.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.3.3.1.2.1

乘以 $1$ 。

$\frac{d f}{d x} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{e^{2 x} (- e^{- x})}{e^{2 x} \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.3.1.2.2

约去公因数。

$\frac{d f}{d x} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{e^{2 x} (- e^{- x})}{e^{2 x} \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.3.1.2.3

重写表达式。

$\frac{d f}{d x} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{- e^{- x}}{1}$

解题步骤 1.1.3.3.1.2.4

用 $- e^{- x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d f}{d x} = \frac{1}{e^{2 x}} - e^{- x}$

解题步骤 1.2

重写该方程。

$d f = (\frac{1}{e^{2 x}} - e^{- x}) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d f = \int \frac{1}{e^{2 x}} - e^{- x} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$f + C_{1} = \int \frac{1}{e^{2 x}} - e^{- x} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$f + C_{1} = \int \frac{1}{e^{2 x}} d x + \int - e^{- x} d x$

解题步骤 2.3.2

化简表达式。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $e^{2 x}$ 的指数取反来将其从分母中消除。

$f + C_{1} = \int 1 {(e^{2 x})}^{- 1} d x + \int - e^{- x} d x$

解题步骤 2.3.2.2

化简。

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解题步骤 2.3.2.2.1

将 ${(e^{2 x})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.2.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f + C_{1} = \int 1 e^{2 x \cdot - 1} d x + \int - e^{- x} d x$

解题步骤 2.3.2.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f + C_{1} = \int 1 e^{- 2 x} d x + \int - e^{- x} d x$

解题步骤 2.3.2.2.2

将 $e^{- 2 x}$ 乘以 $1$ 。

$f + C_{1} = \int e^{- 2 x} d x + \int - e^{- x} d x$

解题步骤 2.3.3

使 $u_{1} = - 2 x$ 。然后使 $d u_{1} = - 2 d x$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.3.1

设 $u_{1} = - 2 x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.3.1.1

对 $- 2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 2.3.3.1.2

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 \cdot 1$

解题步骤 2.3.3.1.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2$

解题步骤 2.3.3.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$f + C_{1} = \int e^{u_{1}} \frac{1}{- 2} d u_{1} + \int - e^{- x} d x$

解题步骤 2.3.4

化简。

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解题步骤 2.3.4.1

将负号移到分数的前面。

$f + C_{1} = \int e^{u_{1}} (- \frac{1}{2}) d u_{1} + \int - e^{- x} d x$

解题步骤 2.3.4.2

组合 $e^{u_{1}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$f + C_{1} = \int - \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int - e^{- x} d x$

解题步骤 2.3.5

由于 $- 1$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$f + C_{1} = - \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int - e^{- x} d x$

解题步骤 2.3.6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$f + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - e^{- x} d x$

解题步骤 2.3.7

$e^{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $e^{u_{1}}$ 。

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) + \int - e^{- x} d x$

解题步骤 2.3.8

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - \int e^{- x} d x$

解题步骤 2.3.9

使 $u_{2} = - x$ 。然后使 $d u_{2} = - d x$ ，以便 $- d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.9.1

设 $u_{2} = - x$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.9.1.1

对 $- x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2.3.9.1.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.9.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 2.3.9.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 2.3.9.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.10

由于 $- 1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - - \int e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.11

化简。

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解题步骤 2.3.11.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) + 1 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.11.2

将 $\int e^{u_{2}} d u_{2}$ 乘以 $1$ 。

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) + \int e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.12

$e^{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $e^{u_{2}}$ 。

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) + e^{u_{2}} + C_{3}$

解题步骤 2.3.13

化简。

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} e^{u_{1}} + e^{u_{2}} + C_{4}$

解题步骤 2.3.14

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 2.3.14.1

使用 $- 2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + e^{u_{2}} + C_{4}$

解题步骤 2.3.14.2

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + e^{- x} + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$f = - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + e^{- x} + K$

微积分学 示例

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