微积分学示例

$2 \frac{d y}{d x} = 4 x e^{- x}$ , $y (0) = 5$

解题步骤 1

重写该方程。

$2 d y = 4 x e^{- x} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int 2 d y = \int 4 x e^{- x} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$2 y + C_{1} = \int 4 x e^{- x} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$2 y + C_{1} = 4 \int x e^{- x} d x$

解题步骤 2.3.2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{- x}$ 。

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

解题步骤 2.3.3

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

解题步骤 2.3.4

化简。

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解题步骤 2.3.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

解题步骤 2.3.4.2

将 $\int e^{- x} d x$ 乘以 $1$ 。

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

解题步骤 2.3.5

使 $u = - x$ 。然后使 $d u = - d x$ ，以便 $- d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.5.1

设 $u = - x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.5.1.1

对 $- x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2.3.5.1.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 2.3.5.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 2.3.5.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

解题步骤 2.3.6

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

解题步骤 2.3.7

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$

解题步骤 2.3.8

将 $4 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$ 重写为 $4 (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$ 。

$2 y + C_{1} = 4 (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$

解题步骤 2.3.9

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 y + C_{1} = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$2 y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$

解题步骤 3

将 $2 y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.1

将 $2 y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 y}{2} = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{2} + \frac{K}{2}$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y}{2} = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{2} + \frac{K}{2}$

解题步骤 3.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{2} + \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

在公分母上合并分子。

$y = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K}{2}$

解题步骤 3.3.2

化简分子。

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解题步骤 3.3.2.1

运用分配律。

$y = \frac{4 (- x e^{- x}) + 4 (- e^{- x}) + K}{2}$

解题步骤 3.3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{- 4 (x e^{- x}) + 4 (- e^{- x}) + K}{2}$

解题步骤 3.3.2.3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{- 4 x e^{- x} - 4 e^{- x} + K}{2}$

解题步骤 3.3.3

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 3.3.3.1

从 $- 4 x e^{- x}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (4 x e^{- x}) - 4 e^{- x} + K}{2}$

解题步骤 3.3.3.2

从 $- 4 e^{- x}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (4 x e^{- x}) - (4 e^{- x}) + K}{2}$

解题步骤 3.3.3.3

从 $- (4 x e^{- x}) - (4 e^{- x})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) + K}{2}$

解题步骤 3.3.3.4

从 $K$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) - 1 (- K)}{2}$

解题步骤 3.3.3.5

从 $- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) - 1 (- K)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)}{2}$

解题步骤 3.3.3.6

化简表达式。

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解题步骤 3.3.3.6.1

将 $- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)$ 重写为 $- 1 (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)$ 。

$y = \frac{- 1 (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)}{2}$

解题步骤 3.3.3.6.2

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K}{2}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} + K}{2}$

解题步骤 5

使用初始条件，通过将 $0$ 代入 $x$ ，将 $5$ 代入 $y$ ，在 $y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} + K}{2}$ 中求 $K$ 的值。

$5 = - \frac{4 \cdot 0 e^{- 0} + 4 e^{0} + K}{2}$

解题步骤 6

求解 $K$ 。

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解题步骤 6.1

将方程重写为 $- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2} = 5$ 。

$- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2} = 5$

解题步骤 6.2

等式两边同时乘以 $- 2$ 。

$- 2 (- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2}) = - 2 \cdot 5$

解题步骤 6.3

化简方程的两边。

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解题步骤 6.3.1

化简左边。

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解题步骤 6.3.1.1

化简 $- 2 (- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2})$ 。

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解题步骤 6.3.1.1.1

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 6.3.1.1.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1.1.1.1.1

将 $- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$- 2 \frac{- (4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K)}{2} = - 2 \cdot 5$

解题步骤 6.3.1.1.1.1.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- 1) \frac{- (4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K)}{2} = - 2 \cdot 5$

解题步骤 6.3.1.1.1.1.3

约去公因数。

$2 \cdot - 1 \frac{- (4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K)}{2} = - 2 \cdot 5$

解题步骤 6.3.1.1.1.1.4

重写表达式。

$- - (4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

解题步骤 6.3.1.1.1.2

化简表达式。

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解题步骤 6.3.1.1.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$- - (4 \cdot (0 e^{0}) + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

解题步骤 6.3.1.1.1.2.2

乘以零。

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解题步骤 6.3.1.1.1.2.2.1

将 $0$ 乘以 $e^{0}$ 。

$- - (4 \cdot 0 + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

解题步骤 6.3.1.1.1.2.2.2

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$- - (0 + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

解题步骤 6.3.1.1.1.2.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 (0 + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

解题步骤 6.3.1.1.1.2.4

将 $0 + 4 e^{0} + K$ 乘以 $1$ 。

$0 + 4 e^{0} + K = - 2 \cdot 5$

解题步骤 6.3.1.1.1.2.5

将 $0$ 和 $4 e^{0}$ 相加。

$4 e^{0} + K = - 2 \cdot 5$

解题步骤 6.3.1.1.2

化简每一项。

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解题步骤 6.3.1.1.2.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$4 \cdot 1 + K = - 2 \cdot 5$

解题步骤 6.3.1.1.2.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 + K = - 2 \cdot 5$

解题步骤 6.3.2

化简右边。

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解题步骤 6.3.2.1

将 $- 2$ 乘以 $5$ 。

$4 + K = - 10$

解题步骤 6.4

将所有不包含 $K$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.4.1

从等式两边同时减去 $4$ 。

$K = - 10 - 4$

解题步骤 6.4.2

从 $- 10$ 中减去 $4$ 。

$K = - 14$

解题步骤 7

代入 $- 14$ 替换 $y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} + K}{2}$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 7.1

代入 $- 14$ 替换 $K$ 。

$y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - 14}{2}$

解题步骤 7.2

约去 $4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - 14$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1

从 $4 x e^{- x}$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x}) + 4 e^{- x} - 14}{2}$

解题步骤 7.2.2

从 $4 e^{- x}$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x}) + 2 (2 e^{- x}) - 14}{2}$

解题步骤 7.2.3

从 $2 (2 x e^{- x}) + 2 (2 e^{- x})$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) - 14}{2}$

解题步骤 7.2.4

从 $- 14$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) + 2 \cdot - 7}{2}$

解题步骤 7.2.5

从 $2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) + 2 (- 7)$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7)}{2}$

解题步骤 7.2.6

约去公因数。

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解题步骤 7.2.6.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7)}{2 (1)}$

解题步骤 7.2.6.2

约去公因数。

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7)}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.2.6.3

重写表达式。

$y = - \frac{2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7}{1}$

解题步骤 7.2.6.4

用 $2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7$ 除以 $1$ 。

$y = - (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7)$

解题步骤 7.3

运用分配律。

$y = - (2 x e^{- x}) - (2 e^{- x}) - - 7$

解题步骤 7.4

化简。

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解题步骤 7.4.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$y = - 2 (x e^{- x}) - (2 e^{- x}) - - 7$

解题步骤 7.4.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$y = - 2 (x e^{- x}) - 2 e^{- x} - - 7$

解题步骤 7.4.3

将 $- 1$ 乘以 $- 7$ 。

$y = - 2 (x e^{- x}) - 2 e^{- x} + 7$

$y = - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x} + 7$

微积分学 示例

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